【三角学】三角恒等变换公式推导 |
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原文链接:https://www.cnblogs.com/ctjcalc/p/post4.html 三角恒等变换是高中的一个重要的知识,我是在预习时通过自己的方法推导了一遍,个人认为,这样可以加深对其的理解。本文同时也作为一篇学习笔记。 和与差角公式推导 差角的余弦公式推导差角的余弦公式是三角恒等变换的一系列公式的基础,推导出它,就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量,而不是普通的几何方法。以下为推导过程。 Copyright © 2019 ctjcalc,转载请注明URL,并给出原文链接,谢谢。设在平面直角坐标系\(xOy\)中,有角\(\alpha , \beta\),其始边均与\(Ox\)重合。 设\(\overrightarrow{OA}=(\cos\alpha,\sin\alpha),\overrightarrow{OB}=(\cos\beta,\sin\beta),|\theta|=\) \(\forall \alpha,\beta\in \mathbb{R},\alpha=\beta+\theta+2k\pi\)。 所以对于任意的\(\alpha\)和\(\beta\),都有\(\alpha-\beta=2k\pi+\theta,k\in\mathbb{Z}\)。 所以 \[\cos(\alpha-\beta)=\cos(2k\pi+\theta)=\cos\theta,k\in\mathbb{Z} \]所以 \[\begin{align} \cos(\alpha-\beta)&=\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} \\ &=\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{(\cos^{2} \alpha+\sin^{2} \alpha)(\cos^{2} \beta+\sin^{2} \beta)} \\ &= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align} \]即 \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]和角的余弦公式推导可以根据\(C_{(\alpha-\beta)}\),得到\(C_{(\alpha+\beta)}\)(根据诱导公式\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\)和\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\)得到)。以下为推导过程。 Copyright © 2019 ctjcalc,转载请注明URL,并给出原文链接,谢谢。 根据$C_{(\alpha-\beta)}$,易得 $$ \begin{align} \cos(\alpha+\beta)&=\cos[\alpha-(-\beta)] \\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta) \\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \end{align} $$总结一下,和与差的余弦公式可以写成这样: \[C_{(\alpha\pm\beta)}:\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \]和与差的正弦公式推导根据诱导公式\(\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\),即可进行转化。 \[\begin{align} \sin(\alpha-\beta)&=\cos[(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta] \\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta \\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)&=\sin[\alpha-(-\beta)] \\ &=\sin\alpha\cos(-\beta)-cos\alpha\sin(-\beta) \\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \end{align} \]总结一下,可以写成: \[S_{(\alpha\pm\beta)}:\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \]和与差的正切公式推导根据商数关系,即\(\tan\alpha=\frac{\alpha}{\beta}\),再利用之前推导的公式,就可以推导了。 \[\begin{align} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \\ &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} \\ &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)&=\tan[\alpha-(-\beta)] \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)} \\ &=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ \end{align} \]所以 \[T_{(\alpha\pm\beta)}:\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} \] Copyright © 2019 ctjcalc,转载请注明URL,并给出原文链接,谢谢。 倍角公式推导在本文中,倍角特指二倍角,其他的\(n\)倍角中的\(n\)不能省略。 其实很简单,根据前面的和角的公式,把\(2\alpha\)用\(\alpha+\alpha\)代入即可。 \[\begin{align} \sin 2\alpha&=\sin(\alpha+\alpha) \\ &=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha \\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha&=\cos(\alpha+\alpha) \\ &=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ \tan 2\alpha&=\tan(\alpha+\alpha) \\ &=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha} \\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha} \\ \end{align} \]特别的,倍角的余弦公式还可以转化为仅用一个函数名表示: \[\begin{align} \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=\cos^{2} \alpha-1+\cos^{2} \alpha \\ &=2\cos^{2} \alpha-1 \\ \cos 2\alpha&=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-\sin^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=1-2\sin^{2} \alpha \\ \end{align} \] Copyright © 2019 ctjcalc,转载请注明URL,并给出原文链接,谢谢。 总结这些公式可以用一个表格概括: 三角函数 \(\alpha\pm\beta\) \(2\alpha\) \(\sin\) \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) \(\cos\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\cos 2\alpha=\cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ =2\cos^{2} \alpha-1\\ =1-2\sin^{2} \alpha\) \(\tan\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) \(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\) Copyright © 2019 ctjcalc,转载请注明URL,并给出原文链接,谢谢。 |
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