非线性最小二乘问题的数值方法 |
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Title: 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (实例篇 V) 姊妹博文 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (I) 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (II) 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (III) 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (IV) ↑ \uparrow ↑ 理论部分 ↓ \downarrow ↓ 实例部分 非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法 (实例篇 V) ⟵ \longleftarrow ⟵ 本篇 文章目录 0.前言1. 最优问题实例2. 符号计算3. 高斯-牛顿法计算4. 结论 0.前言本篇博文作为对前述 “非线性最小二乘问题的数值方法 —— 从牛顿迭代法到高斯-牛顿法” 的实践扩展, 理论部分参见前述博文, 此处不再重复. 1. 最优问题实例m i n i m i z e g ( x ) = 1 2 ∥ r ( x ) ∥ 2 2 = 1 2 ∑ i = 1 3 r i ( x ) 2 (I-1) {\rm minimize}\quad {g}(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\|\mathbf{r}(\mathbf{x})\|_2^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3} r_i(\mathbf{x})^2 \tag{I-1} minimizeg(x)=21∥r(x)∥22=21i=1∑3ri(x)2(I-1) 其中 x = [ x 1 , x 2 ] T \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, x_2 \end{bmatrix}^{\small\rm T} x=[x1,x2]T r ( x ) = [ r 1 ( x ) , r 2 ( x ) , r 3 ( x ) ] T \mathbf{r}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} r_1(\mathbf{x}), \, r_2(\mathbf{x}) ,\,r_3(\mathbf{x}) \end{bmatrix}^{\small\rm T} r(x)=[r1(x),r2(x),r3(x)]T r 1 ( x ) = sin x 1 − 0.4 r_1(\mathbf{x}) = \sin x_1 -0.4 r1(x)=sinx1−0.4 r 2 ( x ) = cos x 2 + 0.8 r_2(\mathbf{x}) = \cos x_2 + 0.8 r2(x)=cosx2+0.8 r 3 ( x ) = x 1 2 + x 2 2 − 1 r_3(\mathbf{x}) = \sqrt{x_1^2 +x_2^2} -1 r3(x)=x12+x22 −1 2. 符号计算Maxima 符号运算代码: (%i10) r_1(x_1,x_2) := sin(x_1)-0.4; r_2(x_1,x_2) :=cos(x_2)+0.8; r_3(x_1,x_2) := sqrt((x_1)^2 +(x_2)^2)-1; r: matrix([r_1(x_1,x_2)], [r_2(x_1,x_2)], [r_3(x_1,x_2)]); dr: matrix([diff(r_1(x_1,x_2), x_1), diff(r_1(x_1,x_2), x_2)], [diff(r_2(x_1,x_2), x_1), diff(r_2(x_1,x_2), x_2)], [diff(r_3(x_1,x_2), x_1), diff(r_3(x_1,x_2), x_2)]); sH: transpose(dr) . dr; dg: transpose(dr) . r; g : (1/2) * (r_1(x_1,x_2)^2+r_2(x_1,x_2)^2+r_3(x_1,x_2)^2); dg: ratexpand(matrix([diff(g,x_1)], [diff(g,x_2)])); plot3d(g, [x_1,-4,4], [x_2,-4,4]); (%o1) r_1(x_1,x_2):=sin(x_1)-0.4 (%o2) r_2(x_1,x_2):=cos(x_2)+0.8 (%o3) r_3(x_1,x_2):=sqrt(x_1^2+x_2^2)-1 (r) matrix( [sin(x_1)-0.4], [cos(x_2)+0.8], [sqrt(x_2^2+x_1^2)-1] ) (dr) matrix( [cos(x_1), 0], [0, -sin(x_2)], [x_1/sqrt(x_2^2+x_1^2), x_2/sqrt(x_2^2+x_1^2)] ) (sH) matrix( [x_1^2/(x_2^2+x_1^2)+cos(x_1)^2, (x_1*x_2)/(x_2^2+x_1^2)], [(x_1*x_2)/(x_2^2+x_1^2), sin(x_2)^2+x_2^2/(x_2^2+x_1^2)] ) (dg) matrix( [(x_1*(sqrt(x_2^2+x_1^2)-1))/sqrt(x_2^2+x_1^2)+cos(x_1)*(sin(x_1)-0.4)], [(x_2*(sqrt(x_2^2+x_1^2)-1))/sqrt(x_2^2+x_1^2)-(cos(x_2)+0.8)*sin(x_2)] ) (g) ((cos(x_2)+0.8)^2+(sqrt(x_2^2+x_1^2)-1)^2+(sin(x_1)-0.4)^2)/2 rat: replaced -0.4 by -2/5 = -0.4 rat: replaced 0.8 by 4/5 = 0.8 (dg) matrix( [-x_1/sqrt(x_2^2+x_1^2)+cos(x_1)*sin(x_1)-(2*cos(x_1))/5+x_1], [-cos(x_2)*sin(x_2)-(4*sin(x_2))/5-x_2/sqrt(x_2^2+x_1^2)+x_2] ) (%o10) ["/tmp/maxout347947.gnuplot_pipes"]![]() ![]() |
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