编程中，我们可能会遇到有符号数与无符号数的转换，难免对其产生困惑，他们的转换关系是怎么样的？而这个转换过程又涉及到取模运算，而且模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题(中国剩余定理)到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。所以有必要对其进行研究，结果又发现取模运算与取余运算非常类似，它们的区别是什么呢？

下面对这些困惑一一解析。

“模”是指一个计量系统的计数范围。“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。在12为模的系统里，加10和减2效果是一样的，因此凡是减2运算，都可以用加10来代替。假设当前时针指向8点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨2小时，即8-2=6；另一种是顺拨10小时，8+10=12+6=6，即8-2=8+10。表示n位的计算机计量范围是0～2^n-1， 模=2^n。

值得注意的是，“模”和“循环”相关。有些情况下的“循环”问题，例如字母和数字循环，用模来解决可能会比较简单。

计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同.在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。

计算机中存储二进制数11111111时，1.如果数据类型是有符号数，表示-1。计算机中负数是以补码形式存储的，-1的补码11111111；2.如果数据类型是无符号数，表示255。255的二进制编码为11111111。程序中的赋值，就是把二进制编码直接复制过去，然后根据数据类型解析成我们看到的数字。255也是-1对256（2^8=256）求模后的值。

如果在编程时混用有符号数和无符号数，在C++合法，在有符号数为负时，会被自动转换为无符号数，导致异常。把负数转换成无符号数类似于直接给无符号数赋一个负值，结果等于这个负数加上无符号数的模（无符号数的模=2^无符号数的位数）。数学公式的角度看就是2^8+（-1）=255。其中8是二进制数的位数，-1是当数据类型为有符号数时表示的数值，255是当数据类型为无符号数时表示的数值。

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

例1.计算：-7 Mod 4

MATLAB程序验证：

例2.计算：7 Mod 4

总结：当a和b的正负号一样的时候，两个运算的结果是等同的；当a和b的符号不同时，取余运算结果的符号和a一样，而取模运算结果的符号和b一样。

注：

不同语言%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。

1.判别奇偶数已知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。2.判别素数质数（或素数）只有1和它本身两个因数。试除法——用不比该自然数的平方根大的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。3.求最大公约数求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)具体实现见风尘拂柳：分而治之——土地方形分割（最大公约数）——欧几里得算法（辗转相除法）