形而上学的基础

虽然数学家知道他们的发明并没有用欧几里得的演绎法进行系统性陈述，但他们坚信这就是真理，他们的信心部分来自于结论在物理上的正确性，部分来自于哲学和神学。17世纪后期到18世纪，托马斯·霍布斯、约翰·洛克和莱布尼茨阐述了哲学主旨，在理智和自然间建立协调统一性。数学演绎法在天体力学上的表现，是人们相信宇宙数学设计的一个证据。到了18世纪，人们同样相信某些数学原理必定正确，比如莫佩尔蒂断言并得到欧拉支持的最小工作原理。

科学与神学的早期联系使人们相信世界是按照数学进行设计的，16和17世纪的领袖人物不仅笃信宗教，还在宗教中寻找对科学工作的启示和信念，哥白尼和开普勒相信日心说，是因为他们相信上帝喜欢数学上比较简单的理论。笛卡尔相信我们的天赋观念（包括数学公理）是正确的，因为他相信上帝不会骗人，否定数学的真理性就是否定上帝。牛顿认为他的工作价值在于研究上帝的工作、支持天启教。莱布尼茨也认为宇宙是尽善尽美的，理性的思想揭示了其规律。到了18世纪，人们依然相信自然界是按数学设计的，但抛弃了哲学和宗教基础，纯粹数学-物理的解释削弱了“宇宙是上帝设计的”这一教义的基础，17世纪也有数学家反对宗教势力，如伽利略称对圣经的讨论是谎话连篇毫无意义的，笛卡尔主张自然规律是不变的，含蓄地限制了上帝的作用；尽管牛顿信仰上帝，但他认为上帝的作用是保持世界按计划运转，随着数学的发展，宗教对数学的启示和推动作用越来越小。

尽管拉格朗日接收了莫佩尔蒂和欧拉的最小工作原理，但他否认其中隐含任何形而上学的东西。比起关心上帝的设计，人们更关心物理上意义重大的结果。拉普拉斯完全抛弃了数学物理中的上帝或者形而上学基础，有一个著名故事：拉普拉斯送给拿破仑一部他写的《天体力学》，拿破仑问里面怎么没提到宇宙的创造者呢，拉普拉斯回答：“我不需要这个假设”。到18世纪末，形而上学已经变成一个贬义词，大家也用这个词指责一些他们不理解的东西，比如跟蒙日一个时代的数学家不理解他的特征函数理论，就称其为形而上学的。

数学活动的扩张

18世纪中发起并支持数学研究的是17世纪中期和末期建立的科学院，科学院兴办的期刊成为了发表文章的正式渠道。1785年巴黎科学院改组为法兰西学院下设的三个分支之一。

1800年以前，德国大学不做研究，只提供两年人文科学必修课和法律、神学、医学的专业课，数学家在柏林科学院搞研究。但1810年亚历山大·冯·洪堡建立了柏林大学，提出教授应该讲自己想讲的课，学生可以学自己喜欢的知识。1826年雅可比在柯尼斯堡(Koenigsberg)教椭圆函数，不过这个情况很罕见，很多老师还是要上正规课程。19世纪时德国多地设立了大学，开始支持搞研究的教授。

18世纪的法国大学在法国大革命前不如德国，新政府决定建立高水平大学，孔多塞组织了这项工作，1794年建立了多科工艺学校，蒙日和拉格朗日是第一批数学教授，学校培养学生成为工程师或军官。学校的数学课水平很高，毕业生能进行数学研究。1808年法国政府建立了高等师范学校培养人文科学和自然科学的教师。

18世纪欧洲各国在数学方面的成果数量差距很大，法国领先，其次是瑞士，尽管柏林科学院资助了欧拉和拉格朗日，德国的数学研究相对不太活跃。英国也一般，拿得出手的就泰勒、Matthew Stewart(1717-1785)和麦克劳林几人，跟17世纪相比少得可怜，因为牛顿跟莱布尼茨之争，英国人一直在搞牛顿的几何法，用牛顿的符号，甚至拒绝阅读用莱布尼茨记号写的东西。牛津和剑桥拒绝犹太人和非英国国教信徒入学，1815年左右英国数学和天文学已经奄奄一息了。

在19世纪前25年，英国数学家终于对欧洲大陆的微积分工作产生了兴趣，1813年剑桥成立了分析学会，George Peacock(1791-1858)、约翰·赫歇耳(1792-1871)、查尔斯·巴贝奇等人研究“d-主义”（莱布尼茨所用符号）不久商dy/dx代替了牛顿符号，英国学生也用上了大陆教科书，1816年巴贝奇、赫歇耳和Peacock翻译并出版了Lacroix的第一卷《教程》，到1830年左右英国人跟上了大陆的工作。英国的分析大部分是数学物理，不过英国也开创了几个新的工作方向（代数不变量理论和形式逻辑）

向前的一瞥

到18世纪末，数学家开创了新的数学分支，不过问题很复杂，没找到一般的解决办法，数学家感到自己走到尽头了。1781年拉格朗日给达朗贝尔写信，说感觉数学的矿快挖完了，还是搞物理化学比较有前途。欧拉和达朗贝尔也同意拉格朗日的看法，他们看不到数学界的新大牛出现（高斯：还没上学，勿cue）。早在1754年，狄德罗就说不出一个世纪数学就要完犊子了，大家只能啃啃伯努利、莫佩尔蒂、克莱罗等人的老本了。法兰西学院数学和物理部的常设书记德朗布尔(1749-1822)在谈到数学的未来时说，在几乎所有分支里人们都被不可克服的困难阻挡了，似乎大家只能完善下细枝末节了。

1781年孔多塞做了一个明智的预言，蒙日的工作曾给他留下了深刻的印象，他认为数学家仅仅在万里长征第一步，未来还有很多问题推动数学进步。孔多塞是正确的，19世纪数学的扩展甚于18世纪，1783年欧拉和达朗贝尔去世了，这一年拉普拉斯34岁，勒让德31岁，傅里叶15岁，而高斯只有6岁。在19世纪科研杂志的数量猛增，1810年创办了世界上首个纯数学的期刊，1826年克雷尔（August Leopold Crelle，1780-1855）创办了《纯粹与应用数学杂志》，但很快被纯数学占领，被戏称为“纯粹非应用数学杂志”。1835年巴黎科学院也创办了《周报》，在4页内摘要最新成果，传闻这是为了限制柯西，因为他总是写很多。1878年美国创办了自己的数学杂志。

19世纪还出现了数学家学会促进数学研究，如伦敦数学会（1865）、法国数学会（1872）、美国数学会（1888）和德国数学会（1890），定期开会读论文，每个学会都会主办一些期刊。

19世纪数学大大发展了，知识传播使得更多学者涌现，小的数学家贵族团体被大型集体代替。18世纪已有这种苗头：欧拉是一个牧羊人的儿子，达朗贝尔是一个穷苦家庭抚养的私生子，蒙日是一个小商贩的儿子，拉普拉斯出身农民家庭。（感觉双减的目的和希望工程、义务教育一样，国家不想要做题家，希望减少城市竞争力度，给教育资源差的地区学生更多冒头的机会）大学参与研究、教科书的出版以及拿破仑开创的系统培养科学家的体系造就了众多的数学家。