概率中的PDF，PMF，CDF

2023-07-30 04:40| 来源: 网络整理| 查看: 265

一概念解释二数学表示三概念分析四分布函数的意义五参考文献

一. 概念解释

PDF：概率密度函数（probability density function）, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

PMF : 概率质量函数（probability mass function), 在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。

CDF : 累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。二. 数学表示

PDF：如果 X 是连续型随机变量，定义概率密度函数为 fX(x) ，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

Pr(a≤X≤b)=∫bafX(x)dx

PMF：如果 X 离散型随机变量，定义概率质量函数为 fX(x) ,PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

fX(x)=Pr(X=x) 比如对于掷一枚均匀硬币，如果正面令 X=1 ，如果反面令 X=0 ，那么它的PMF就是

fX(x)={12 if x∈{0,1}0 if x∉{0,1}

CDF：不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

对于连续型随机变量，显然有 FX(x)=Pr(X≤x)=∫x−∞fX(t)dt 那么CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数。

对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为 FX(x)=Pr(X≤x)=⎧⎩⎨⎪⎪0 if x

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