摘要：主成分分析（英语：Principal components analysis，PCA）是一种分析、简化数据集的技术。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。常常应用在文本处理、人脸识别、图片识别、自然语言处理等领域。可以做在数据预处理阶段非常重要的一环，本文首先对基本概念进行介绍，然后给出PCA算法思想、流程、优缺点等等。最后通过一个综合案例去实现应用。（本文原创，转载必须注明出处.）

降维是对数据高维度特征的一种预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为了应用非常广泛的数据预处理方法。

我们正通过电视观看体育比赛，在电视的显示器上有一个足球。显示器大概包含了100万像素点，而球则可能是由较少的像素点组成，例如说一千个像素点。人们实时的将显示器上的百万像素转换成为一个三维图像，该图像就给出运动场上球的位置。在这个过程中，人们已经将百万像素点的数据，降至为三维。这个过程就称为降维(dimensionality reduction)

数据降维的目的：

适用范围:

常见降维技术（PCA的应用目前最为广泛）

主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)：通俗理解：就是找出一个最主要的特征，然后进行分析。

主成分分析（英语：Principal components analysis，PCA）是一种分析、简化数据集的技术。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。由于主成分分析依赖所给数据，所以数据的准确性对分析结果影响很大。

主成分分析由卡尔·皮尔逊于1901年发明，用于分析数据及建立数理模型。其方法主要是通过对协方差矩阵进行特征分解，以得出数据的主成分（即特征向量）与它们的权值（即特征值）。PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。其结果可以理解为对原数据中的方差做出解释：哪一个方向上的数据值对方差的影响最大？换而言之，PCA提供了一种降低数据维度的有效办法；如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应的成分，那么所得的低维度数据必定是最优化的（也即，这样降低维度必定是失去讯息最少的方法）。主成分分析在分析复杂数据时尤为有用，比如人脸识别。

PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。通常情况下，这种运算可以被看作是揭露数据的内部结构，从而更好的解释数据的变量的方法。如果一个多元数据集能够在一个高维数据空间坐标系中被显现出来，那么PCA就能够提供一幅比较低维度的图像，这幅图像即为在讯息最多的点上原对象的一个‘投影’。这样就可以利用少量的主成分使得数据的维度降低了。PCA跟因子分析密切相关，并且已经有很多混合这两种分析的统计包。而真实要素分析则是假定底层结构，求得微小差异矩阵的特征向量。

PCA 场景

例如： 考察一个人的智力情况，就直接看数学成绩就行(存在：数学、语文、英语成绩)

PCA 思想

PCA 原理

PCA 算法流程

下面我们看看具体的算法流程。

输入：n维样本集\( D=(x^{(1)},x^{(2)},…,x^{(m)}) \)，要降维到的维数n.输出：降维后的样本集\( D^′\)1) 对所有的样本进行中心化：\( x^{(i)}=x^{(i)}−\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}x^{(j)} \)2) 计算样本的协方差矩阵\( XX^T\)3) 对矩阵\( XX^T\)进行特征值分解4）取出最大的n’个特征值对应的特征向量\( (w_1,w_2,…,w_n^′) \), 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。5）对样本集中的每一个样本\( x^{(i)}\),转化为新的样本\( z^{(i)}=W^Tx^{(i)} \)6) 得到输出样本集\( D^′=(z^{(1)},z^{(2)},…,z^{(m)}) \)

PCA 优缺点

优点：降低数据的复杂性，识别最重要的多个特征。缺点：不一定需要，且可能损失有用信息。适用数据类型：数值型数据。

真实的训练数据总是存在各种各样的问题：

这时可以采用主成分分析（PCA）的方法来解决部分上述问题。PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k0时，表明X与Y正相关(X越大，Y也越大；X越小Y，也越小。) 当 cov(X, Y)