如图,A、B分别是椭圆 的左、右端点,F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF. (1)点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于M |
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【答案】(1)(2)【解析】试题(1)先求出PA、F的坐标,设出P的坐标,求出、的坐标,由题意可得,且y>0,解方程组求得点P的坐标.(2)求出直线AP的方程,设点M的坐标,由M到直线AP的距离等于|MB|,求出点M的坐标,再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式,配方求得最小值.试题解析:(1)由已知可得点A(﹣6,0),F(4,0),设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x﹣4,y).由已知可得,2x2+9x﹣18=0,解得x=,或x=﹣6.由于y>0,只能x=,于是y=.∴点P的坐标是.(2)直线AP的方程是 ,即 x﹣y+6=0. 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.于是=|6﹣m|,又﹣6≤m≤6,解得m=2,故点M(2,0).设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有 d2=(x﹣2)2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =(x﹣)2+15,∴当x=时,d取得最小值. |
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