《从素数到复数的几何意义》一书第5章中，对不同维度的数及其四则运算的几何意义作出了全新的另一种解释。在这种意义下，数字是该空间中的几何体，做加减法即放置几何体的过程。

以二维空间为例，可表示通常的复数。表示数字的过程为：对于复数a+bi，如果a>0，则在第一象限放置一个面积为a的正方形，a0，则在第二象限放置一个面积为b的正方形，b0，d>0为例），即在第一、二象限的空白处分别放置面积为c和d的正方形。减去数c+di，即加上-c-di，则在第三、四象限放置这些正方形。

化简的方法分为两步。第一，如果相对的象限（一三象限或二四象限）中同时存在图形，则在面积之和较大的象限中挖去与相对象限中图形面积之总和相等的图形，同时将相对象限的所有图形删除。如果相对象限中图形的总面积相等，则相互抵消，同时删除。第二，将各象限的图形替换为与原来的总面积相等的正方形。

化简后的图形就符合表示数字方法的特点，从而可以直接读出数字的值；未化简的图形需先进行化简，再读出数值。在这种几何意义下，如果两个图形可化简为同一图形，则认为这两个图形相同（或严格地称之为数值相等）。

乘法有两种方法。方法一：乘一个非负实数c，即将各象限中的图形面积扩大到c倍；乘-c则需再绕原点旋转180°。乘纯虚数di（或-di），则将面积扩大到d倍后，再逆（顺）时针旋转90°。如果要乘一个一般虚数c+di，需分别作出乘c与乘di后的图形再相加。最后对乘积进行化简。

方法二（经改编）：将所乘因数（乘数）表示为 的形式，再将表示原因数（被乘数）的各象限中正方形改为面积为原来的r倍、以圆点为圆心的四分之一圆。将整个图形绕原点逆时针旋转θ弧度，最后化简。

做除法时需求出除数的倒数，再与被除数相乘。

下面对维度进行讨论。实数是一维的，一维空间就是直线，实数a（最简状态）就表示为以原点和a为端点的线段。上面说过，二维空间（平面）可表示复数。那三维呢？

三维空间中的几何体是立体图形，可以放在不同卦限中。三维空间共有8个卦限，可以这样表示四元数a+bi+dk+cj：如果a、b、c、d都是非负数，则在第I至IV卦限中放置体积为a、b、d、c的正方体；出现负数则放置在相对的卦限，如-a放置在第VII卦限。做加减法的过程与二维空间类似，但化简时只有相对的卦限（如I和VII、II和VIII）的图形可以抵消，而I与III、V与VII等并不能抵消。乘除法比较复杂，需要找出各象限乘积所在的象限，不再像复数那样能用旋转表示，故几何意义不明显，本书中未作介绍。但只从加减法来看，规律已十分明显。

一般地，在用几何体而不是空间中的点表示数时，n维空间可表示 元数而不是n元数（用后者理论上可表示的）。如三维空间能用几何体表示四元数，四维空间可表示八元数。如果硬要用三维空间中的点表示出“三元数”，放到以几何体表示其的空间，就需要 维空间，这是不可能的。这也从侧面说明了“三元数”的不存在性。

此外，更高维度除了表示高元数外，还可以表示高维数。详见我的回答“方程 x²－5x＋6＝0 的解就只有 2 和 3 吗？”。