X ∼ N （ μ , σ ） X\thicksim N（\mu,\sigma） X∼N（μ,σ）

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ ≤ x + ≤ + ∞ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}, -\infty \leq x +\leq +\infty f(x)=2π ​σ1​e−2σ2(x−μ)2​,−∞≤x+≤+∞

X ∼ U ( a , b ) X\thicksim U(a,b) X∼U(a,b)

f ( x ) = 1 b − a , a ≤ x ≤ b f(x)=\frac{1}{b-a},a \leq x \leq b f(x)=b−a1​,a≤x≤b

X ∼ E x p ( λ ) X\thicksim Exp(\lambda) X∼Exp(λ)

f ( x ) = λ e − λ x , x ≥ 0 f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq0 f(x)=λe−λx,x≥0

X ∼ G a ( α , λ ) X\thicksim Ga(\alpha,\lambda) X∼Ga(α,λ)

f ( x ) = λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x , x ≥ 0 f(x)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x \geq 0 f(x)=Γ(α)λα​xα−1e−λx,x≥0

其 中 ， Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x 其中，\Gamma (\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx 其中，Γ(α)=∫0+∞​xα−1e−xdx

Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma (\alpha+1)=\alpha \Gamma (\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α)

特征函数： 当 α = n 时 ， X = X 1 + X 2 + . . . + X n ， X i i . i . d ， X i ∼ E x p ( λ ) 当\alpha =n时，X=X_1+X_2+...+X_n，X_i i.i.d，X_i\thicksim Exp(\lambda) 当α=n时，X=X1​+X2​+...+Xn​，Xi​i.i.d，Xi​∼Exp(λ)

已 知 φ X i ( t ) = （ 1 − i t λ ） − 1 , 由 特 征 函 数 的 性 质 知 ： 已知\varphi_{X_i}(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-1},由特征函数的性质知： 已知φXi​​(t)=（1−λit​）−1,由特征函数的性质知：

φ X ( t ) = [ φ X i ( t ) ] n = （ 1 − i t λ ） − n \varphi_X(t)=[\varphi_{X_i}(t)]^n=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-n} φX​(t)=[φXi​​(t)]n=（1−λit​）−n

进一步，当 α 为 任 意 正 实 数 时 , G a ( α , λ ) 的 特 征 函 数 为 ： \alpha为任意正实数时, Ga(\alpha,\lambda)的特征函数为： α为任意正实数时,Ga(α,λ)的特征函数为：

φ ( t ) = （ 1 − i t λ ） − α \varphi(t)=（1-\frac{it}{\lambda}）^{-\alpha} φ(t)=（1−λit​）−α

X ∼ B e ( a , b ) X\thicksim Be(a,b) X∼Be(a,b)

f ( x ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 = 1 B ( a , b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 , 0 ≤ x ≤ 1 f(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}=\frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},0\leq x \leq1 f(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)​xa−1(1−x)b−1=B(a,b)1​xa−1(1−x)b−1,0≤x≤1

其 中 B ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x 其中B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx 其中B(a,b)=∫01​xa−1(1−x)b−1dx

B ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) B(a,b)=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)​

（贝塔分布的特征函数推导太复杂了，也不常用，从略，(●ˇ∀ˇ●)）

X ∼ χ 2 ( n ) X\thicksim \chi^2(n) X∼χ2(n)

卡方分布是伽玛函数的特例， χ 2 ( n ) = G a ( n 2 , 1 2 ) , \chi^2(n)=Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2}), χ2(n)=Ga(2n​,21​),

由伽玛函数的数学期望与方差可得： E X = n EX=n EX=n V a r ( X ) = 2 n Var(X)=2n Var(X)=2n φ ( t ) = ( 1 − i t 1 2 ) − n 2 = ( 1 − 2 i t ) − n 2 \varphi(t)=(1-\frac{it}{\frac{1}{2}})^{-\frac{n}{2}}=(1-2it)^{-\frac{n}{2}} φ(t)=(1−21​it​)−2n​=(1−2it)−2n​

柯西分布的数学期望与方差不存在。特征函数存在。

参考文献：茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，3.

（由于粘了大量的mathtype公式图片，排版不精美，将就着看(●ˇ∀ˇ●) O(∩_∩)O )