从幂律分布到特征数据概率分布 |
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在机器学习领域,概率分布对于数据的认识有着非常重要的作用。不管是有效数据还是噪声数据,如果知道了数据的分布,那么在数据建模过程中会得到很大的启示。 首先,如下图所示8个特征数据概率分布情况(已经做归一化),这些特征是正态分布、伯努利分布,还是泊松分布、幂律分布? 在高斯法则生效的领域,平均值可以代表整体。但是在幂律法则统治的领域,平均值毫无意义。高斯法则和幂律法则的典型代表是分别身高和财富,把姚明放到100个人中,并不会显著改变平均身高,但把比尔·盖茨放到100个人中,就会极大改变平均财富。 在高斯法则生效的领域,所有人跟平均值的差距不会很大;但是在幂律法则分布的领域,跟平均值的差距就会大到惊人。 正态法则和幂律法则,细思极恐。带着问题,我们开始概率分布之旅。 1. 概率分布概述概率分布,是指用于表述随机变量取值的概率规律。将随机变量作为横轴,概率作为纵轴,把随机变量与对应变量画上去,构成一个图形,这个图像就是概率分布的直观表示。通常也用概率分布函数表示 F ( x ) F ( x ) F(x)来描述一个概率分布,概率分布函数被定义为: F ( x ) = P { X < x } F ( x ) =P\{XX=k}=(kn)pk(1−p)(n−k) 式中 k = 0 , 1 , 2 , . . . , n k=0,1,2,...,n k=0,1,2,...,n, ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} (kn)=k!(n−k)!n!是二项式系数,又记为 C n k C_n^k Cnk。 二项式分布的主要特征是: 给定多个试验,每个试验彼此独立(一项试验的结果不会影响另一项试验)。 每个试验只能得出两个可能的结果(例如,获胜或失败),其概率分别为p和(1- p)。 如果获得成功概率(p)和试验次数(n),则可以使用以下公式计算这n次试验中的成功概率(x)。 如果二项分布满足pq,np≥5)时,二项分布接近正态分布。 E ( X ) = n p E(X)=np E(X)=np V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X)=np(1-p) Var(X)=np(1−p) 2.4. 多项分布多项式分布(Multinoulli distribution)二项分布的推广。二项分布(也叫伯努利分布)的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。而多项分布就像扔骰子,有6个面对应6个不同的点数。 某随机实验如果有k个可能结局 A 1 、 A 2 、 … 、 A k A_1、A_2、…、A_k A1、A2、…、Ak,分别将他们的出现次数记为随机变量 X 1 、 X 2 、 … 、 X k X_1、X_2、…、X_k X1、X2、…、Xk,它们的概率分布分别是 p 1 , p 2 , … , p k p_1,p_2,…,p_k p1,p2,…,pk,那么在n次采样的总结果中, A 1 A_1 A1出现 n 1 n_1 n1次、 A 2 A_2 A2出现 n 2 n_2 n2次、…、 A k A_k Ak出现 n k n_k nk次的这种事件的出现概率P有下面公式: P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , ⋯ , X k = n k ) = { n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! p 1 n 1 p 2 n 2 ⋯ p k n k , ∑ i = 1 k n i = n 0 , o r t h e r w i s e P(X_1=n_1,X_2=n_2,⋯,X_k=n_k)=\left\{\begin{matrix} \frac{n!}{n1!n2!⋯nk!}p^{n1}_1p^{n2}_2⋯p^{nk}_k & , \sum_{i=1}^{k}n_i = n\\ 0 & , ortherwise \end{matrix}\right. P(X1=n1,X2=n2,⋯,Xk=nk)={n1!n2!⋯nk!n!p1n1p2n2⋯pknk0,∑i=1kni=n,ortherwise 多项分布对其每一个结果都有均值和方差,分别为: E ( X i ) = n p i E(X_i)=np_i E(Xi)=npi V a r ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) Var(X_i)=np_i(1-p_i) Var(Xi)=npi(1−pi) 2.5. 泊松分布泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。【维基百科】 P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , . . . P(X=k)= \frac{λ^k}{k!}e^{-λ} ,k=0,1,... P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,... 泊松分布的参数 λ λ λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为 λ λ λ 一般来说,我们会换一个符号,让 μ = λ \mu=\lambda μ=λ 。 2.6. 正态分布若随机变量 X X X服从一个数学期望为 μ μ μ、方差为 σ 2 \sigma ^2 σ2的正态分布,记为 N ( μ , σ 2 ) N(μ,σ^2) N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值 μ μ μ决定了其位置,其标准差 σ σ σ决定了分布的幅度。当 μ = 0 , σ = 1 μ = 0,σ = 1 μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。 标准正态分布又称为 u u u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)。 一维正态分布 若随机变量 X X X服从一个位置参数为 μ μ μ 、尺度参数为 σ σ σ的概率分布,且其概率密度函数为: f ( x ) = 1 2 π σ e ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac {1}{\sqrt{2π}σ}e^{(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})} f(x)=2π σ1e(−2σ2(x−μ)2) 标准正态分布 当 μ = 0 , σ = 1 μ=0,σ=1 μ=0,σ=1时,正态分布就成为标准正态分布: f ( x ) = 1 2 π e ( − x 2 2 ) f(x)=\frac {1}{\sqrt{2π}}e^{(-\frac{x^2}{2})} f(x)=2π 1e(−2x2) 2.7. 伽马分布伽玛分布(Gamma Distribution),Gamma分布中的参数α,称为形状参数(shape parameter),β称为尺度参数(scale parameter)。 “指数分布”和“ χ 2 χ^2 χ2分布”都是伽马分布的特例。 令 X ∼ Γ ( α , β ) X \sim \Gamma(\alpha, \beta) X∼Γ(α,β);且令 λ = 1 β \lambda = \frac{1}{\beta} λ=β1: (即 X ∼ Γ ( α , 1 λ ) ) X \sim \Gamma(\alpha, \frac{1}{\lambda})) X∼Γ(α,λ1))。 f ( X ) = X ( α − 1 ) λ α e ( − λ X ) Γ ( α ) , X > 0 f(X) = \frac{X^{(\alpha -1)} \lambda^{\alpha} e^{(-\lambda X)}}{\Gamma(\alpha)},X > 0 f(X)=Γ(α)X(α−1)λαe(−λX),X>0 2.8. 几何分布几何分布(Geometric distribution)在伯努利试验中,记每次试验中事件 A A A发生的概率为 p p p,试验进行到事件A出现时停止,此时所进行的试验次数为 X X X,其分布列为: P ( X = k ) = ( 1 − p ) ( k − 1 ) p , k = 1 , 2 , . . . P(X=k)=(1-p)^{(k-1)}p,k=1,2,... P(X=k)=(1−p)(k−1)p,k=1,2,... 此分布列是几何数列的一般项,因此称 X X X服从几何分布,记为 X ~ G E ( p ) X ~ GE(p) X~GE(p) 。 实际中有不少随机变量服从几何分布,譬如,某产品的不合格率为0.05,则首次查到不合格品的检查次数 X ~ G E ( 0.05 ) X ~ GE(0.05) X~GE(0.05) 。 X ∼ G E ( p ) , q = 1 − p , P ( X = r ) = p q ( r − 1 ) X\sim GE(p),q=1-p,P(X = r) = pq^{(r-1)} X∼GE(p),q=1−p,P(X=r)=pq(r−1),当 r → ∞ r→∞ r→∞时: 期望和方差: E ( X ) = 1 p E(X) = \frac{1}{p} E(X)=p1 V a r ( X ) = q p 2 Var(X) = \frac{q}{p^2} Var(X)=p2q 2.9. 指数分布在概率理论和统计学中,指数分布(Exponential distribution也称为负指数分布)是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布,即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟,它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外,还可以在其他各种环境中找到。 f ( x ) = { λ e − ( λ x ) , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\left\{\begin{matrix} λe^{-(λx)} & , x>0\\ 0 & , x ≤ 0 \end{matrix}\right. f(x)={λe−(λx)0,x>0,x≤0 在概率论和统计学中,指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。 许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况,产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布。 期望与方差: E ( X ) = 1 λ E(X)=\frac{1}{λ} E(X)=λ1 V a r ( X ) = 1 λ 2 Var(X) = \frac{1}{λ^2} Var(X)=λ21 2.10. 卡方分布卡方分布(chi-square distribution),也称为 X 2 X^2 X2分布,若 n n n个相互独立的随机变量 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ξ_1,ξ_2,...,ξ_n ξ1,ξ2,...,ξn,均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布),则这 n n n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布。 χ 2 ( n ) χ^2 ( n ) χ2(n) 分 布 , 就 是 Γ Γ Γ 分 布 的 一 种 特 殊 形 式: 其中 α = n 2 , β = 1 2 α = \frac{n}{ 2} , β = \frac{1}{ 2} α=2n,β=21 f ( x ) = { 1 2 n 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − 1 2 x , x > 0 0 , x ≤ 0 f ( x ) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ ( \frac{n}{ 2} )} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x}& , x>0\\ 0 & , x ≤ 0 \end{matrix}\right. f(x)={22nΓ(2n)1x2n−1e−21x0,x>0,x≤0 定义 如果随机变脸 X i X_i Xi 之 间 相 互 独 立 且 服 从 N ( 0 , 1 ) N ( 0 , 1 ) N(0,1) , 分 布 , 则 称 随 机 变 量 χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + . . . + X n 2 χ^2 = X_1^ 2 + X_ 2^2 + ... + X_n^2 χ2=X12+X22+...+Xn2 服从自由度为 n n n 的 χ 2 χ^2 χ2 分 布 记 为 χ 2 ∼ X 2 ( n ) χ^2\sim X^2(n) χ2∼X2(n) 2.11. beta分布贝塔分布(Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数,在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中,贝塔分布,也称 B Β B分布,是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。 f ( x : α , β ) = 1 B ( α , β ) x ( α − 1 ) ( 1 − x ) ( β − 1 ) f(x:α ,β)=\frac{1}{B(α ,β)}x^{(α-1)}(1-x)^{(β-1)} f(x:α,β)=B(α,β)1x(α−1)(1−x)(β−1) 其中 Γ ( z ) Γ(z) Γ(z) 是 Γ Γ Γ函数。随机变量 X X X服从参数为 ( α , β ) (α ,β) (α,β) 的 B Β B分布通常写作 X ∼ B e B ( α , β ) X \sim BeB(α ,β) X∼BeB(α,β) 2.12. 幂律分布幂律分布是指某个具有分布性质的变量,且其分布密度函数是幂函数(由于分布密度函数必然满足“归一律”,所以这里的幂函数,一般规定小于负1)的分布。 幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。 假设变量x服从参数为 的幂律分布,则其概率密度函数可以表示为: f ( x ) = c x − α − 1 , x → ∞ f(x)=cx^{-α-1}, x→∞ f(x)=cx−α−1,x→∞ 在双对数坐标下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。 Zipf定律与Pareto定律(帕累托定律) 对“长尾”分布研究做出重要贡献的是Zipf和Pareto ,虽然他们并不是这种分布的最早发现者。Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数,我们称之为幂律分布。 3. 总结回顾本文的开始,幂律分布的长尾现象很普遍,大数据中小概率数据普遍存在,如何解决呢? 我的方法是把数据 x 3 \sqrt[3]{x} 3x ,对模型的精度结果影响只有不到千分之一,也就是说数据变换缩短尾巴效果有限。另外的方法,是从整体模型上考虑细分,二八原则中,把20%的分离出来,自顶向下逐步精确。 参考: 【1】视学算法,数据分析必须掌握的概率分布!建议收藏! CSDN博客 ,2019.11 【2】数据派THU,深度学习必懂的 13 种概率分布(附链接) CSDN博客,2020.02 【3】马同学图解数学, 如何通俗理解泊松分布? CSDN博客,2019.04 【4】刘之帅,机器学习中的“分布” CSDN博客,2020.04 【5】我是8位的,概率统计14——几何分布 博客园 ,2020.01 【6】sam-X,正态和伽马分布族 CSDN博客,2018.09 【7】娜娜酱,生存法则—正态分布和幂律分布 知乎,2018.07 |
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