【统计模拟及其R实现】逆变换 / 筛选法 / 合成法上机习题答案（超详细）

2023-07-22 08:55| 来源: 网络整理| 查看: 265

课本：统计模拟及其R实现 - 肖枝红,朱强武汉大学出版社

参考课件：第三章随机数 - 浙江大学数学科学学院

1. 逆变换法

2. 筛选法

3. 合成法

1. 逆变换法

题目1：用逆变换方法生成如下密度函数的随机变量，要求写出R程序：Cauchy概率密度函数 $f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^{2})}$

解：

首先求得Cauchy分布函数 $\int_{-\infty}^{x} f(x)dx = F(x) = \frac{1}{\pi} arctanx + \frac{1}{2}$

记 $x = F^{-1}(u)$

则有 $u = F(x) = \frac{1}{\pi} arctanx + \frac{1}{2}$

从上式中反解出x，得 $x = tan[\pi (u - \frac{1}{2})]$

故可以通过生成随机变量U后，令 $X = tan[\pi (U - \frac{1}{2})]$ 即可得到随机变量X的模拟值.

代码：

t1 = function(n) { U = runif(N) X = tan(pi*(U-0.5)) X } t1(10) # 生成10个随机变量X

题目2：用逆变换方法生成如下概率函数的随机变量，要求写出R程序： $P\{X = i\} = \frac{1}{i + 1} , i = 1,2,3,...$

解：

令 $X = i$

若 $\frac{i - 1}{i + 1} \leqslant U \frac{i}{i + 1}$ 成立，就可以得到X的值

令 $\frac{i - 1}{i + 1} = U$ ，将i反解，得到 $i = \frac{1 + U}{1 - U}$

故可以通过生成随机变量U后，令 $X = \frac{1 + U}{1 - U}$ 即可得到随机变量X的模拟值.

代码：

t2 = function(n) { U = runif(n) X = floor((1+U)/(1-U)) X } t2(10) 2. 筛选法

题目1：用筛选法来模拟如下密度函数的随机变量，f(x)是需要模拟的随机变量密度函数，g(x)是其对应的筛选函数：

$f(x) = \frac{e^{-\frac{1}{2} x^2}}{1 + x^2}, g(x) = e^{-\frac{1}{2} x^2}$

解：

算法步骤如下：

① 生成密度函数为g的随机变量Y

② 生成随机数U

③ 如果 $U \leqslant \frac{f(Y)}{cg(Y)}$ ，令X=Y，否则转至步骤①

代码：

t3 = function(n) { x = 0 for (i in 1:n) { repeat { y = rnorm(1,mean=0,sd=sqrt(2*pi)) u = runif(1) if (u

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