状態方程式の安定判別

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状態方程式の安定判別

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て，

A 'の固有値が左半平面にあればシステムは安定であることが判る。指令値は安定性に影響を与えない。制御対象だけの場合はAの固有値が左半平面にあれば安定である。

（例題6-7）図の制御対象で，コンデンサ電圧

v t ( )を検出して，入力電圧e t ( )を次式で制御する。

( ) ( * ( ) ( ))

e t  K v t  v t ①

（１）フィードバック制御系の状態方程式を求めよ。

（２）制御系が安定である

Kの条件を求

めよ。

(解)（１）状態変数

( ) ( ) ( )

t i t v t

 

  

 

x とすると，

制御対象の状態方程式は、次式で与えられる。

0 1/ 0

1/ / 1/

v C v

d e

i L R L i L

         

         

        ② 一方，制御対象の出力方程式は次式で与えられる。

 1 0  v

v i

    

  ③

①，②，③より（この場合③は不要），制御系全体の状態方程式は次式となる。

0 1/ 0

(1 ) / / / *

v C v

d v

i K L R L i K L

         

          

        ④

（２）④より，固有値の計算を行う特性方程式は，

0 1/ 1/

(1 ) / / (1 ) / /

C s C

s K L R L K L s R L

  

       I

R K 0

s s

L LC

    

ラウスの安定判別法により，安定条件は

K   1 6.4 非線形システムの安定判別

本テキストでは，線形システムだけを対象としている。しかし，実際には非線形システムも多く存在する。ただ，非線形システムは線形システムの様に簡単に安定判別することができない。そこで，ある平衡点（定常点）近傍きんぼうでの変数の微小変動を考えて線形化することが多い。このようにして得られた数式モデルは線形モデル(linear model)と呼ばれている。

( ) v t

R L

( ) e t

C ( )

i t

ここでは非線形の制御対象として図 6-6 の直流直巻ちょくまき電動機を考え，その線形モデルを導出する。直流直巻電動機は従来電車に利用されてきたが，現在でも自動車用スタータ（セルモータ）などに利用されている。低速で大きなトルクを発生する利点がある。



f a

, f a

L  L  L R  R  R

図6-6 直流直巻電動機

直流直巻電動機は，磁束

を作る界磁巻線が電機子回路に直列に接続されているので，

k ia

  (6-21)

が成り立つ。ここで，

iaは電機子電流である。kは定数であるが，端子 AB をつなぎかえて磁束の向きを反対にできるので，正または負となる。(6-21)を用い，例題3-6より誘導起電力eaと発生トルクeは次式で表される。ここでmは回転角速度である。

ea  K m k K iam (6-22)

e  K  ia  k K ia2 (6-23)

従って，図6-6は以下の非線形微分方程式で表すことができる。

d ia a m v R i L k K i

d t 

   (6-24)

d m a2 l

J k K i T

d t

   (6-25)

ここで,

R :電機子巻線および直巻界磁巻線の抵抗の和，L :電機子巻線および直巻界磁巻線のインダクタンスの和，J :慣性モーメント（モータ＋負荷），Tl:負荷トルク非線形というのは，状態変数の積iamや 2 乗ia2が含まれていることを言う。(6-15)の様に線形システムでないと安定判別は困難である。そこで，(6-24)，(6-25)を平衡点に関して線形化することで線形モデルを導く。

まず，平衡点であるが，図 6-6 で自由に選べる値は電源電圧

vと負荷トルクTl である。

これらは入力であり，負荷トルクは制御には使えないので，外乱入力と呼ぶ。

vとTl が一定値であれば（この値をv0とTl0 とする），定常状態では状態変数の変化はないので(6-24) ， (6-24)の微分を0とおいて（定常解析という），平衡点で次式が成り立つ。

v0  R ia0 k K ia0m0 （常にv0  0とする） (6-26)

0  k K ia20 Tl0 (6-27)

一般的な定常時の発生トルクと速度の関係は，(6-26)で添字0を付けず次式で与えられる。

e a2

( )2

k K i kK v

R kK

     (6-28)

これを図 6-7 に示す。発生トルクと負荷トルク(一定と仮定)との交点では(6-27)が成り立ち平衡点になる（添字0 を付ける）。重負荷時には低速(A点)であるが，軽負荷時には高速(C 点)になるので，無負荷運転は厳禁である。

m  0, e 0のⅠ象限は正転，力行(電動機)運転領域で，m 0, e 0のⅢ象限は逆転，力行運転領域である。発生トルクを負にするには，ABをつなぎかえk0とする。平衡点BやEは，何かの原因で速度が平衡点の値よりも上昇したとき，負荷トルクが発生トルクより大きくなり速度の増加を抑えようし，逆に何かの原因で速度が平衡点の値よりも減少したときは，発生トルクが負荷トルクより大きくなり速度の減少を抑えようとするから安定に運転できると予測される（線形モデルで証明される）。平衡点FとDは回生(発電機)運転であるが，同様に考えると逆のトルク特性なので不安定になると予測される。この考え方は一般の電動機制御においても重要である。

0 m

軽負荷発生トルク

平衡点（定常点）

トルク

e

m

v: 一定（正）

重負荷

e

k K

安定

安定不安定

不安定

B C

D E

F 0

k

0 k

a 0

i  ia 0

a 0

i  ia0

a 0 e 

a 0 e 

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ Ⅳ

Ⅰ，Ⅱ

Ⅲ，Ⅳ

図6-7 直流直巻電動機の速度トルク特性図6-8 線形モデルのイメージ

線形化を行ってみよう。変数を平衡点の値（添え字0）とそれからの微小変動分（Δを付ける）に分けて，次式の様に表す。

v    v0 v， ia  ia0  ia

m  m0  m， Tl  Tl0  Tl (6-29) (6-24)，(6-25)に代入して

変数

入力平衡点

（定常点）

接線線形モデルこの上を動く

非線形モデルこの上を動く

0 0

( 0 ) 0 0

(a a) d ia ia (a a)( m m)

v v R i i L k K i i

d t    

          

( 0 ) 0 2 0

( ) ( )

m m

a a l l

J d k K i i T T

d t

   

     

平衡点の値（添え字0）については，等しいので両辺から省くことができる（その微分は0 で(6-26)，(6-27)が成り立っている）。また，平衡点からの変数の微小変動を考えているので Δのついた項同士の積は小さいので無視できる。この結果，次式が得られる。

d ia a0 m m0 a

v R i L k K i k K i

d t   

        (6-30)

d m 2 a0 a l

J k K i i T

d t



     (6-31)

ある変数の微小変動項の係数はその変数で偏微分することにより，(6-24)，(6-25)から直接求めてもよい（普通はこちらを使う）。(6-30)，(6-31)は次式の状態方程式で表せる。

0 0

( ) / / 1/ 0

2 / 0 0 1/

a m a a

m a m l

i R kK L k K i L i L v

k K i J J T



 

     

        

 

         

       

(6-32)

行列の成分に含まれる変数は定常値であるから定数で，線形モデルと呼ばれ， (6-15)に対応した線形の状態方程式である。制御対象の安定性は，入力に無関係に次式の特性方程式で判別できる。これはシステム行列の固有値を求める式である。

0 0

( ) / /

2 / 0 0

m a

R kK L k K i L

s k K i J



  

 

   

 

I (6-33)

故に 0 0

( ) / /

2 / 0

m a

s R kK L k K i L

k K i J s



 

 

2 0

2( 0)

m a

R kK k K i

s s

L J L



    (6-34)

ラウスの安定判別法により，安定条件は

R  kK m0  0である。Ⅰ，Ⅲ象限ではこの条件を満足し平衡点A, B, C, Eは安定，平衡点F，Dではこの条件を満足しないので不安定となる。

常に

v0  0なので，ia0  v0/( R k K  m0)だから，安定条件は電流が正と一致する。なお，

v  としても発生トルクの向きは変わらないので， v0  0の場合だけ考えてよい。

一般に，平衡点が変わると線形モデルの固有値も変わるので，システムの安定判別は，

たくさんの平衡点ごとに調べる必要がある。図6-8は線形モデルのイメージ図である。平衡点で変数の接線近似が線形モデルである。入力が考えている平衡点近傍で変化するときには，実際の非線形モデルと近似である線形モデルの誤差は小さい。

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