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Correlation计算原理

Correlation算法

关联（Correlation）是两个随机变量或信号之间的数学关系。在统计中，可以将相关性视为归一化的协方差。两个相同信号的相关性称为自相关。相关可以是线性或圆形的。一般而言，当输入信号包含脉冲时应使用线性相关，而当信号周期性重复时应使用圆形相关。

相关强度由相关系数表示。令f(n)和g(n)是两个相同长度M的信号。它们的相关系数可以定义为：

注意，如果输入信号长度不同，则较短的一个将被零填充为另一个信号的长度。对于线性相关，结果序列的长度为2M-1，而对于循环相关，结果序列的长度为M。计算出的相关系数的大小表示信号之间的相似度。如果幅度较大，则两个信号具有很强的线性关系。可替代地，如果幅度很小，则可以认为两个信号具有很小的线性关系或没有线性关系。如果将相关系数归一化（选中“归一化”复选框），则其绝对值将在0到1的范围内，这使得判断信号之间的相似性更加容易。如果归一化的相关系数等于1或-1，则两个信号将完全相关。相关系数的符号指示关联的方向。正相关表明，一个信号的变化将导致另一个信号沿相同方向变化。正线性关系。如果相关为负，则存在负线性关系；否则为负。一个信号的增加会导致另一个信号的减少。

相关性快速算法相关性是使用基于相关性定理（correlation theorem，在另一篇博文中会专门论述：互相关性定理（Cross-Correlation Theorem）与卷积定理（Convolution Theorem）,https://blog.csdn.net/qq_32515081/article/details/115997053）的快速算法来计算的。设f(n)和g(n)为输入信号，y(m)表示输出，则我们得到：

其中F是f(n)的傅立叶变换，G是g(n)的傅立叶变换， *表示复杂的共轭。注意上述表达式是在频率域下，而非圆/角频率下，所以没有系数1/2π。让人不解的是上述的自相关函数并没有在时间序列上取平均，通过作者后一篇博文（自相关函数/自协方差函数在不同领域内含义辨析，https://mp.csdn.net/editor/html/115847777）的调研可以知道，此处自相关函数的定义是建立在确定信号平方可积\可求和的基础上的，而在统计物理里面的自相关函数是平方不可积\求和函数，所以需要取平均。不过可以确定的是这两个平均过程只牵扯到一个系数，对定性分析没有影响，只对量级产生影响。

当计算自相关函数的时候，上式可以在平均的意义下化简为维纳-辛钦（Wiener-Khinchin Theorem）：

其中为自相关函数，且假定其为可积的，

因此，相关性的计算实际上如下进行：使用FFT计算f(n)和g(n)的离散傅立叶变换；将f(n)的傅立叶系数与g(n)的共轭系数相乘；对乘积执行逆离散傅立叶逆变换。如果选中了标准化复选框，则在计算相关性之前首先将两个输入信号标准化。归一化如下：和归一化相关性可以计算为：其中，fnorm(n)的傅立叶变换是，fnorm(n)的傅立叶变换，并且*表示复共轭。注意，如果计算线性相关，则将在FFT计算之前执行零填充。采样间隔的自动计算如果将“采样间隔”选择为，则计算中所需的采样间隔将由Origin自动计算。自动计算的采样间隔是时间序列的平均增量，通常来自与输入信号关联的X列。如果没有关联的X列，将使用行号。请注意，如果Origin无法获得平均增量，则采样间隔将设置为1。