S-N 曲线：应力 S 与疲劳寿命 N 之间关系的曲线。

三参数 S-N 曲线方程 \[ \tag{1} (S-S_\mathrm{f})^m\times N=C \]

将式(1)取对数，可得

\[ \tag{2} m\lg(S-S_\mathrm{f})+\lg N=\lg C \] 令 \(x=\lg(S-S_\mathrm{f})\) 、\(y=\lg N\) 、\(a=\lg C\) 、\(b=-m\) ，可得 \[ \tag{3} y=a+bx \] 对于一系列的应力值 \(S_i\) 、疲劳寿命值 \(N_i\) (\(i=1,2,3,\cdots,n\))，由最小二乘法可得 \[ \tag{4a} \begin{cases} b=L_{xy}/L_{xx}\\[5pt] a=\bar{y}-\bar{x}b \end{cases} \] 线性相关系数 \(R\) 的平方为 \[ \tag{4b} R^2=\frac{L_{xy}^2}{L_{xx}L_{yy}} \] 其中 \[ x_i=\lg(S_i-S_\mathrm{f}) \qquad y_i=\lg N_i\\[8pt] \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i \qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\\[8pt] L_{xx}=\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)^2\\[8pt] L_{yy}=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^ny_i\Big)^2\\[8pt] L_{xy}=\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^ny_i\Big) \] 由于 \(S_\mathrm{f}\) 未知，故式(4)中的表达式均可看作关于 \(S_\mathrm{f}\) 的函数。为了得到最佳的线性相关性，即线性相关系数 \(R\) 的绝对值最大，于是有 \[ \tag{5a} \frac{\mathrm{d}(R^2)}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}=0 \] 即有 \[ \tag{5b} \frac{\mathrm{d}(R^2)}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}=\frac{L^2_{xy}}{L_{xx}L_{yy}}\bigg(\frac{2}{L_{xy}}\frac{\mathrm{d}L_{xy}}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}-\frac{1}{L_{xx}}\frac{\mathrm{d}L_{xx}}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}\bigg) \] 其中 \[ \tag{5c} \frac{\mathrm{d}L_{xy}}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}=\frac{-1}{\ln 10}\bigg[\sum_{i=1}^n\frac{y_i}{S_i-S_\mathrm{f}}-\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^ny_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^n\frac{1}{S_i-S_\mathrm{f}}\Big)\bigg]=\frac{-1}{\ln 10}L_{y0}\\[8pt] \frac{\mathrm{d}L_{xx}}{\mathrm{d}S_\mathrm{f}}=\frac{-2}{\ln 10}\bigg[\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{S_i-S_\mathrm{f}}-\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^n\frac{1}{S_i-S_\mathrm{f}}\Big)\bigg]=\frac{-2}{\ln 10}L_{x0} \]

将式(5b)、(5c)代入式(5a)，可得 \[ \tag{5d} H(S_\mathrm{f})=\frac{L_{y0}}{L_{xy}}-\frac{L_{x0}}{L_{xx}}=0 \] 于是只需求解非线性方程 \(H(S_\mathrm{f})\) 便可得到 \(S_\mathrm{f}\) ，进一步将 \(S_\mathrm{f}\) 代入式(4)可得 \(a\) 、\(b\) ，则有 \[ \tag{6} \begin{cases} C=10^{a}\\[5pt] m=-b \end{cases} \]

输入：

计算结果：

将式(1)中的幂函数形式变形为 \[ \tag{7a} S=S_\mathrm{f}+\frac{a^*}{N^{b^*}} \] 其中 \[ \tag{7b} \begin{cases} b^*=1/m\\[5pt] a^*=C^{b^*} \end{cases} \] 根据一系列的 \(S_i\) 和 \(N_i\)，对式(7)进行非线性拟合可得 \(S_\mathrm{f}\) 、\(m\) 、\(C\) 。

输入：

计算结果：