数学建模拟合(最小二乘拟合，多项式拟合，自定义函数拟合)

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数学建模拟合(最小二乘拟合，多项式拟合，自定义函数拟合)

2024-07-06 03:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录 matlab拟合工具箱最小二乘拟合理论推导用最小二乘法求解线性回归的k,b怎么评价拟合的精度一个例子另一个例子，薄膜渗透率题目，最小二乘拟合溶液浓度变化多项式拟合自定义函数拟合自定义函数的三维拟合人口数据的不同拟合对比拟合就是想办法得到一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即可。

matlab拟合工具箱

或者直接使用matlab的拟合工具箱写好x, y值

x=1:10; y=randn(size(x));

打开工具箱在这里插入图片描述或者在命令行输入cftool也可以弹出拟合工具箱窗口

>> cftool

设置几个参数，结果就有了，太简单啦

左上角文件下面那堆图标允许我们添加图例，网格，绘制残差图，等高线图，删除离群点等，非常棒的图形化功能，不用编代码也能很完美地实现多项式拟合

最下面的表格里，以及左边的results里还给出了一些拟合程度好坏的评价指标：

SSE，误差平方和，The sum of squares due to error，即最小二乘 S S E = ∑ i = 1 n ( y ^ i − y i ) 2 SSE=\sum_{i=1}^n(\hat y_i- y_i)^2 SSE=i=1∑n(y^i−yi)2

MSE， mean squared error，均方误差，即误差的平方和的均值，就等于SSE除以n，n为数据点个数

RMSE，Root mean squared error，均方根误差，也叫回归系统的拟合标准差，等于MSE开方

R-square，Coefficient of determination，确定系数

SSR: Sum of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和 S S R = ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ˉ ) 2 SSR=\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2 SSR=i=1∑n(y^i−yˉ)2

SST: Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和 S S T = ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 SST=\sum_{i=1}^n( y_i-\bar y)^2 SST=i=1∑n(yi−yˉ)2

在这里插入图片描述 S S R + S S E = S S T SSR+SSE=SST SSR+SSE=SST “确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。

“确定系数”的正常取值范围为[0 1]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好

Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination 在这里插入图片描述

可以选择各种拟合方式在这里插入图片描述

最小二乘拟合

曲线/函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要做的工作只是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数

理论推导

在这里插入图片描述

用最小二乘法求解线性回归的k,b

在这里插入图片描述

怎么评价拟合的精度

SSE是我们最容易想到的，每个拟合值和准确值的差值平方和，但是对于线性拟合，还可以引入SSR和SST

SSE当然是越小越好

SST是原值和均值的距离平方和，正比于数据方差，衡量的是原始数据的偏离程度

SSR是拟合值和原始数据均值的距离平方和，衡量拟合数据的偏离程度

所以SSR和SST当忽然是越接近越好

在这里插入图片描述 R 2 R^2 R2是负数的例子来了

在这里插入图片描述证明这里写的很清楚

通过上图左下角的一阶条件可以看出，最小二乘法拟合要求原始值和拟合值的差值（残差）总和必须为0。在这里插入图片描述更多结论

一个例子

在这里插入图片描述

clear;clc load data1 plot(x,y,'o') % 给x和y轴加上标签 xlabel('x的值') ylabel('y的值') n = size(x,1); k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) hold on % 继续在之前的图形上来画图形 grid on % 显示网格线 % % 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y) % % 传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形 % x = 0: 0.1 :5 % 间隔设置的越小画出来的图形越准确 % y = k * x + b % k和b都是已知值 % plot(x,y,'-') f=@(x) k*x+b; fplot(f,[min(x)-1,max(x)+1]); legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast') % 匿名函数的基本用法。 % handle = @(arglist) anonymous_function % 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。 % arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。 % anonymous_function为匿名函数的表达式。 % 举个小例子 % % >> z=@(x,y) x^2+y^2; % % >> z(1,2) % % ans = 5 % fplot函数可用于画出匿名函数的图形。 % fplot(f,xinterval) 将在指定区间绘图。将区间指定为 [xmin xmax] 形式的二元素向量。 y_hat = k*x+b; % y的拟合值 SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和 SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和 SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和 SST-SSE-SSR % 非常小的数，接近0 R_2 = SSR / SST % 拟合优度另一个例子，薄膜渗透率题目，最小二乘拟合溶液浓度变化

具体题目见《matlab在数学建模中的应用》，卓金武

其中的微分方程求解过程：

在这里插入图片描述

clear all clc tdata=linspace(100,1000,10); % 时间，秒 cdata=1e-05.*[454 499 535 565 590 610 626 639 650 659];% 浓度测量值，mg/cm3转化为g/cm3，再去掉小数点 x0=[0.2 0.05 0.08]; % 随便设置最小化问题的三个参数的初始值 x=lsqcurvefit('curvefun',x0,tdata,cdata) % least square ，最小二乘曲线拟合 % 第一个参数是被优化的函数，x0是初始参数，后面是优化依靠的实际数据，返回一组参数使得数据点和函数计算值的误差平方和最小 f=curvefun(x,tdata); plot(tdata, cdata,'o',tdata,f,'r-') title('最小二乘拟合B部分的浓度随时间的变化曲线') % curvefun.m function f=curvefun(x,t); f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*t); % x(1),x(2),x(3)分别是a,b,k 多项式拟合 x=1:10; y=randn(size(x)); p=polyfit(x,y,7); % 7阶多项式，返回拟合多项式的降幂系数 x1=0:.1:10; y_hat=polyval(p,x1); plot(x1,y_hat,x,y,'r*')

在这里插入图片描述

自定义函数拟合

很多专业领域的数据可能已经有比较受学界认可的函数形式，可以通过查阅文献获得，然后用那种函数形式去拟合，能获得更好的拟合优度

在这里插入图片描述比如

在这里插入图片描述

syms t x=[0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15]; y=[1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -.12 .17 .28 .15 -.03 -.15 -.071 .059 .08 .032 -.015 -.02]; x=x';y=y'; % 自定义拟合函数 f=fittype('a * cos(k * t) * exp(w * t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'}); cfun=fit(x,y,f); % 数据必须以列向量形式给出 x1=0:.1:20; y1=cfun(x1); plot(x,y,'r*',x1,y1,'b-')

多尝试几次，拟合很好的时候记录下函数的参数们，a, k, w，就是很好的拟合结果

cfun函数还给了每个参数的置信区间！！简直完美

警告: Start point not provided, choosing random start point. > In curvefit.attention.Warning/throw (line 30) In fit>iFit (line 299) In fit (line 108) In me_test (line 8) >> cfun cfun = General model: cfun(t) = a * cos(k * t) * exp(w * t) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 0.9987 (0.9836, 1.014) k = 1.001 (0.9958, 1.006) w = -0.2066 (-0.2131, -0.2002)

人口预测模型，拟合在这里插入图片描述

clear all clc % 人口数据 T=1:30; % +1970=年份 P=[33815 33981 34004 34165 34212 34327 34344 34458 34498 34476 34483 34488 34513 34497 34511 34520 34507 34509 34521 34513 34515 34517 34519 34519 34521 34521 34523 34525 34525 34527];%人口 %plot(T,P)% 折线 plot(T,P,'r o')% 只画数据点 hold on % 线性化处理 for t=1:30 x(t)=exp(-t); y(t)=1/P(t); end c=zeros(30,1)+1; X=[c,x']; B=inv(X' * X) * X' * y' % 线性回归的回归系数，2行1列，B（1,1）是0次幂系数，B（2,1）是1次幂系数 for i=1:30 z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i) ; % 回归拟合值 s(i)=y(i)-sum(y)/30 ; % 离差，每个数据和平均值的距离 e(i)=z(i)-y(i); % 拟合误差 end SST=s*s' ; % 离差平方和 SSE=e*e' ; % 误差平方和 SSR=SST-SSE; % 预测数据和原始数据均值的平方和 F=28*SSR/SSE % F检验值 % 计算非线性回归模型的拟合值 for j=1:30 Y(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j)); end % 画出逻辑函数拟合曲线 plot(T,Y,'k ') title('Logistic模型拟合曲线')

F检验值？？？

也可以用工具箱实现

在这里插入图片描述