图像锐化的目的是使模糊的图像变得清晰起来，主要用于增强图像的灰度跳变部分，这一点与图像平滑对灰度跳变的抑制正好相反。而且从算子可以看出来，平滑是基于对图像领域的加权求和或者说积分运算的，而锐化则是通过其逆运算导数（梯度）或者说有限差分来实现的。

图像的锐化也就是增强图像的突变部分，那么我们也就对图像的恒定区域中，突变的开始点与结束点（台阶和斜坡突变）及沿着灰度斜坡处的微分的性质。微分是对函数局部变化率的一种表示，那么对于一阶微分有以下几个性质：

二阶微分，是一阶微分的导数，和一阶微分相对应，也有以下几点性质:

从以上图像灰度的一阶和二阶微分的性质可以看出，在灰度值变化的地方，一阶微分和二阶微分的值都不为0；在灰度恒定的地方，微分值都为0.也就是说，不论是使用一阶微分还是二阶微分都可以得到图像灰度的变化值。

图像可以看着是二维离散函数，对于图像的一阶微分其计算公式如下：

\begin{array}{l}{\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)} \\ {\frac{\partial f}{\partial y}=f(y+1)-f(y)}\end{array}

对于二阶微分有:

\begin{array}{l}{\frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}}=f(x+1)+f(x-1)-2 f(x)} \\ {\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f(y+1)+f(y-1)-2 f(y)}\end{array}

 在图像处理中的一阶微分通常使用梯度的幅值来实现，f在(x,y)处梯度的列向量为：

$\nabla f=\operatorname{grad}(f)=\left[ \begin{array}{l}{g_{x}} \\ {g_{y}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{l}{\frac{\partial f}{\partial x}} \\ {\frac{\partial f}{\partial y}}\end{array}\right]$

该向量表示图像中的像素在点(x,y)处灰度变化率最大的方向。

这个列向量的幅值就是图像f(x,y)的梯度图：

$M(x, y)=\operatorname{mag}(\nabla f)=\sqrt{g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}$

由于求平方的根运算比较费时，通常可以使用绝对值的和来近似

$$M(x, y) \approx\left|g_{x}\right|+\left|g_{y}\right|$$

对于二阶微分的计算，则有：

$$\nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$$

其中：

$$\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} &=f(x+1, y)+f(x-1, y)-2 f(x, y) \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} &=f(x, y+1)+f(x, y-1)-2 f(x, y) \end{aligned}$$

 　　根据梯度的定义

 　　　　$\begin{aligned} g_{x} &=f(x+1, y)-f(x, y) \\ g_{y} &=f(x, y+1)-f(x, y) \end{aligned}$

可以得到模板$\left[ \begin{array}{ll}{-1} & {1}\end{array}\right]$和$\left[ \begin{array}{c}{-1} \\ {1}\end{array}\right]$

可以看出，得到的边缘一部分是在内边界，一部分是外边界，并且，黄色像素点并未有计算结果，也就是，边缘候选点丢失了一个。且使用该方法计算的图像的梯度只是考虑单个像素的差值，并没有利用到图像的像素的邻域特性。考虑到每个像素的某个邻域的灰度变化。因此，通常不会简单的利用梯度的定义进行梯度的计算，而是在像素的某个邻域内设置梯度算子。

考虑，3X3区域的像素，使用如下矩阵表示：

$$\left[ \begin{array}{lll}{z_{1}} & {z_{2}} & {z_{3}} \\ {z_{4}} & {z_{5}} & {z_{6}} \\ {z_{7}} & {z_{8}} & {z_{9}}\end{array}\right]$$

令中心点表示图像中任一像素，那么根据梯度的定义，其在x和y方向的梯度分别为：$g_{x}=z_{9}-z_{5}$和$g_{y}=z_{8}-z_{6}$，梯度图像

$$M(x, y) \approx\left|z_{9}-z_{5}\right|+\left|z_{8}-z_{6}\right|$$

根据上述公式，Robert在1965年提出的Robert交叉算子

$$\left[ \begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \text { and } \left[ \begin{array}{cc}{0} & {-1} \\ {1} & {0}\end{array}\right]$$

 以下是一组Robort算子计算边界的示例，可以帮助你对Robort算子进行理解：

  这里的非极大抑制Non-maximum suppression，这一步的目的是将模糊（blurred）的边界变得清晰（sharp）。通俗的讲，就是保留了每个像素点上梯度强度的极大值，而删掉其他的值。

$$\nabla^{2} f=z_{2}+z_{4}+z_{6}+z_{8}-4 z_{5}$$

其得到的模板如下：

$$\left[ \begin{array}{ccc}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {-4} & {1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right]$$

因为在锐化增强中，绝对值相同的正值和负值实际上表示相同的响应，故也等同于使用模板

$$\left[ \begin{array}{ccc}{0} & {-1} & {0} \\ {-1} & {4} & {-1} \\ {0} & {-1} & {0}\end{array}\right]$$

 分析模板结构，可知模板对于90°的旋转是各向同性的。所谓对于某角度各向同性是指把原图像旋转该角度后在进行滤波与对原图像滤波在旋转该角度的结果相同。这说明laplacian算子对于接近水平和接近竖直放i想的边缘都有很好的增强，从而避免了在使用梯度算子时要进行多次滤波的麻烦。更进一步，我们还可以得到45°旋转各向同性的滤波器：

$$W_{3}=\left[ \begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {-8} & {1} \\ {1} & {1} & {1}\end{array}\right]$$

和

$$W_{4}=\left[ \begin{array}{ccc}{-1} & {-1} & {-1} \\ {-1} & {8} & {-1} \\ {-1} & {-1} & {-1}\end{array}\right]$$

沿用高斯平滑的思想，根据到中心点的距离给模板周边的点赋予不同的权重，还可得到如下模板：

$$W_{5}=\left[ \begin{array}{ccc}{1} & {4} & {1} \\ {4} & {-20} & {4} \\ {1} & {4} & {1}\end{array}\right]$$

在OpenCV中默认的计算方式如下，假设有一个5*5的小图像，原始值依次为1,2,…25,如下图红色部分，首先将5*5映射到(5+3-1)*(5+3-1)大小，然后和3*3的kernel做累积和，因为计算结果有可能超出有效值[0, 255]范围，因此在最终还需要判断使其在有效范围内，即小于0为0，大于255为255：

如坐标为(0,0)的计算过程为：12 = 7*0+6*1+7*0+2*1+1*(-4)+2*1+7*0+6*1+7*0.

OpenCV提供的Laplacian的函数API为：

参数意义为，

1980年，Marr和Hildreth提出将Laplace算子与高斯低通滤波相结合，提出了LOG（Laplace and Guassian）算子。

高斯函数和一级、二阶导数如下图所示：

步骤如下：1.对图像先进性高斯滤波（G × f），再进行Laplace算子运算Δ（G × f）；

2.保留一阶导数峰值的位置，从中寻找Laplace过零点；

3.对过零点的精确位置进行插值估计。寻找Laplace零点的原因是如果图像中有噪声，噪声在一阶导数处也会取得极大值从而被当作边缘。然而求解这个极大值也不方便，采用二阶导数后，极大值点就为0了，因此值为0的地方就是边界。

由上图可以看出，高斯滤波之后边缘信息才显现出来。

LOG算子如下：

$$\nabla^{2} G=\frac{\partial^{2} G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} G}{\partial y^{2}}=\frac{-2 \sigma^{2}+x^{2}+y^{2}}{2 \pi \sigma^{6}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \sigma^{2}}$$

常用模板如下：

在OpenCV中实现Log算子的方法如下：

　　导向图滤波主要是通过一张引导图G，对目标图像P（输入图像）进行滤波处理，使得最后的输出图像大体上与目标图像P相似，但是纹理部分与引导图G相似。导向滤波不仅能够实现双边滤波的边缘平滑，而且在检测到边缘附近有很好的表现，可以应用在图像增强、HDR压缩、图像抠图以及图像去雾等场景中。

　　导向滤波的实现原理如下：

　　对于普通的线性变换滤波器，输入图像是I，输出图像是S，导向函数为T，导向滤波定义在像素点j处的滤波结果可以表示为下式：

$$S_{j}=\sum_{i} W_{i j}(T) I_{j}$$

其中，i，j是图像像素的下标，滤波器核函数Wij是图像的加权系数，景点的双边滤波器核给定如下：

$$W_{i j}^{b f}(I)=\frac{1}{K_{i}} \exp \left(-\frac{\left|x_{i}-x_{j}\right|^{2}}{\sigma_{s}^{2}}\right) \exp \left(-\frac{\left|I_{i}-I_{j}\right|^{2}}{\sigma_{r}^{2}}\right)$$

其中x是像素坐标Ki是一个归一化参数

$$\sum_{i} W_{i j}^{b f}=1$$

参数σs和σr代表空间相似度以及颜色范围相似度的灵敏性

假设导向滤波器存在线性模型如下：

$$s_{i}=a_{k} I_{i}+b_{k} \quad i \in W_{k}$$

其中窗口函数Wk是S以I为中心在像素k位置形成的线性变换，叙述ak和bk满足相同的线性系数，为确定线性系数，定义的输出相应q应满足下式：

$$q_{i}=I_{i}-n_{i}$$

其中ni表示噪声，局部线性模型确定输入与输出相应的边缘，就可以最小化q与I之间的差异，同事保持原线性变换。

最小化窗口函数Wk：

$$E\left(a_{k}, b_{k}\right)=\sum_{i \in w k}\left(\left(a_{k} I_{i}+b_{k}-p_{i}\right)^{2}+\psi a_{k}^{2}\right)$$

其中Ψ是一个正则化参数，根据线性变换得到系数ak和bk：

$$\begin{array}{l}{a_{k}=\frac{\frac{1}{|w|} \sum_{i \in w k} T_{i} I_{i}-\mu_{i} \overline{I_{k}}}{\sigma_{k}^{2}+\psi}} \\ {b_{k}=\overline{I_{k}}-a_{k} \mu_{k}}\end{array}$$

其中μk与σk是导向图像I的窗口wk的均值和方差，|w|是像素的总个数，

$$\overline{I_{k}}=\frac{1}{|w|} \sum_{i \in w k} I_{i}$$

导向滤波实现步骤如下：

（1.利用boxFilter滤波器完成均值计算，其中均值包括导向均值、原始均值、互相关均值以及自相关均值

（2.根据均值计算相关系数参数，包括自相关与互相关方差。

（3.计算窗口线性变换参数系数a、b。

（4.根据公式计算参数a、b的均值。

（5.利用参数得到导向滤波输出矩阵S。

用程序表示如下所示：