（建议阅读最新版本）

预备知识　刚体， 角动量定理

刚体的绕轴转动 　　 若刚体绕固定轴转动， 那么刚体的位置只需一个变量即可完全确定（一个自由度）， 我们令该变量为转角 \theta． \theta 关于时间 t 的导数就是刚体绕轴旋转的角速度 \omega． 我们还可以定义角速度 \omega 关于时间的导数（即 \theta 关于时间的二阶导数）为角加速度， 记为 \alpha． 　　 我们可以把刚体的绕轴转动类比质点的直线运动， 把 \theta， \omega 和 \alpha 分别类比为直线运动中的位置 x， 速度 v 和 加速度 a， 因为后三个变量之间的数学关系是完全相同的． 于是我们可以立即得到匀变速转动（即 \alpha 为常数）的一些公式， 如

\begin{gather}\theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2\\ \omega_1^2 - \omega_0^2 = 2\alpha \theta\end{gather}

　　 在以上三个标量的基础上， 我们可以定义它们的矢量形式 \boldsymbol{\mathbf{\theta}}， \boldsymbol{\mathbf{\omega}} 和 \boldsymbol{\mathbf{\alpha}}， 令它们的方向为转轴的方向， 用右手定则 来判断． 　　 要判断刚体上任意一点的速度， 使用式 5 即可（见图 1 ）

\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}}&(1)\\\end{align}

角动量与转动惯量 　　 设刚体绕固定轴转动， 令轴的方向为 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}． 假设轴光滑， 则轴对刚体可施加 x, y 两个方向的力矩，却不能施加 z 方向的力矩． 所以根据角动量定理， 角动量 \boldsymbol{\mathbf{L}} 的 z 分量 L_z 守恒． 我们下面来推导 L_z 与角速度 \omega 的关系． 矢量 \boldsymbol{\mathbf{L}} 与矢量 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} 的关系见惯性张量． 　　 对于单个质点，L_z = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}． 首先把质点的位矢在水平方向和竖直方向分解， \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _z + \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot． 由于 \boldsymbol{\mathbf{p}} 一直沿水平方向， 根据叉乘的几何定义， \boldsymbol{\mathbf{r}} _z \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} 也是沿水平方向， 只有 \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} 沿 z 方向．另外， 在圆周运动中， 半径始终与速度垂直， 所以 \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot 始终与 \boldsymbol{\mathbf{p}} 垂直．得出结论

\begin{align}&L_z = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert = m r_ \bot v = mr_ \bot ^2\omega&(2)\\\end{align}

若把刚体分成无数小块， 每小块的质量分别为 m_i， 离轴的距离 r_{\bot i} = \sqrt{x_i^2 + y_i^2}， 则刚体的角动量 z 分量为 \begin{align}&L_z = \omega \sum_i m_i r_{ \bot i}^2&(3)\\\end{align}

用积分写成 \begin{align}&L_z = \omega \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho \,\mathrm{d}{V}&(4)\\\end{align}

　　 定义刚体绕固定轴旋转的转动惯量为

\begin{align}&I = \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m}&(5)\\\end{align}

（注意角动量的大小不仅取决于刚体的质量分布， 还取决于转轴的位置和方向）则刚体沿轴方向的角动量为 \begin{align}&L_z = I\omega&(6)\\\end{align}

　　 现在来看 “角动量定理” 的式 1 ， 注意等号两边是矢量， 所以各个分量必须相等， 我们有

\begin{align}&\frac{\mathrm{d}{L_z}}{\mathrm{d}{t}} = \tau_z&(7)\\\end{align}

将式 8 代入式 9 ， 并利用角加速度的定义得 \begin{align}&I\alpha = \tau_z&(8)\\\end{align}

这就是刚体绕轴转动的动力学方程， 其形式可类比牛顿第二定律．

例1　刚体摆 　　 如图 2 ， 已知质量为 M 的薄片绕某点的转动惯量为 I， 转轴到刚体质心的长度为 r_c， 转轴和质心的连线与竖直方向夹角为 \theta， 求刚体的运动方程．

　　 首先我们把刚体看做质点系， 以转轴为原点计算刚体的合力矩为（由于这是一个平面问题， 力矩必然垂直于该平面）

\begin{align}&\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} ) = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \\ &= Mg r_c \sin\theta \end{aligned}&(9)\\\end{align}

这就说明， 刚体所受力矩相当于质量为 M， 长度为 r_c 的单摆所受的力矩． 代入式 10 得刚体摆的运动方程为 \begin{align}&I\ddot \theta = Mg r_c \sin\theta&(10)\\\end{align}

可以验证当刚体的质量全部集中在质心时（I = Mr_c^2）我们就得到了单摆的运动方程式 4 ．

习题1　陀螺进动的角速度 　　 在 “角动量定理” 的例 2 中， 如果除 r_0, m, g 外， 还知道陀螺的转动惯量为 I 和陀螺的角速度 \omega， 试证明陀螺进动的角速度为

\begin{align}&\Omega = \frac{mgr_0}{I\omega}&(11)\\\end{align}

注意进动角速度与陀螺倾角 \theta 无关．