在 n n n阶行列式中，把 ( i , j ) (i,j) (i,j)元 a i j a_{ij} aij​所在的第 i i i行和第 j j j列划去后，留下来的 n − 1 n-1 n−1阶行列式叫做 ( i , j ) (i,j) (i,j)元 a i j a_{ij} aij​的余子式。记作 M i j M_{ij} Mij​；记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, Aij​=(−1)i+jMij​, A i j A_{ij} Aij​叫做 ( i , j ) (i,j) (i,j)元 a i j a_{ij} aij​的代数余子式。

  一个 n n n阶行列式，如果其中第 i i i行所有元素除 ( i , j ) (i,j) (i,j)元 a i j a_{ij} aij​外都等于零，那么这个行列式等于 a i j a_{ij} aij​与它的代数余子式的乘积，即 D = a i j A i j . D=a_{ij}A_{ij}. D=aij​Aij​.

  (行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ a i n A i n    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n), D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯ain​Ain​(i=1,2,⋯,n), 或 D = a 1 i A 1 i + a 2 i A 2 i + ⋯ a n i A n i    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) . D = a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n). D=a1i​A1i​+a2i​A2i​+⋯ani​Ani​(i=1,2,⋯,n).

  行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ a i n A j n    ( i    j = 1 , 2 , ⋯   , n ,    i ≠ j ) = 0 , a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j)=0, ai1​Aj1​+ai2​Aj2​+⋯ain​Ajn​(ij=1,2,⋯,n,i̸​=j)=0, 或 a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ a n i A n j    ( i    j = 1 , 2 , ⋯   , n ,    i ≠ j ) = 0. a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j)=0. a1i​A1j​+a2i​A2j​+⋯ani​Anj​(ij=1,2,⋯,n,i̸​=j)=0.

  代数余子式的重要性质: ∑ k = 1 n a k i A k j = D δ i j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,;;当i=j \\ 0,;;当i\neq j \\ \end{array} \right. k=1∑n​aki​Akj​=Dδij​={D,0,​​当i=j当i̸​=j​ 或 ∑ k = 1 n a i k A j k = D δ i j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,;;当i=j \\ 0,;;当i\neq j \\ \end{array} \right. k=1∑n​aik​Ajk​=Dδij​={D,0,​​当i=j当i̸​=j​ 其中 δ i j = { 1 , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j . \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{rcl} 1,;;当i=j \\ 0,;;当i\neq j \\ \end{array} \right.. δij​={1,0,​​当i=j当i̸​=j​.

《线性代数》同济大学第五版笔记