“正交阵”与“特征值和特征向量” |
您所在的位置:网站首页 › n阶实对称矩阵的特征值个数 › “正交阵”与“特征值和特征向量” |
正交阵
概念:若n阶矩阵A满足ATA=I,则A为正交矩阵,简称正交阵。 ATA=I解释的话就是: “A的第i行”*“A的第i列”= 1 “A的第i行”*“A的非第i列”= 0。 其他: 1,A是正交阵,x为向量,则A·x称作正交变换; 正交变换不改变向量长度。 如: A= B= (x0, y0),PS:B是映射到x,y坐标轴上的一个点 于是A·BT的结果就是让B这个点在坐标上逆时针旋转°。 2,A、B都是n阶正交阵,那么A*B是正交阵。 特征值和特征向量 定义:A是n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么,数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 解释: Ax=λx意味着:Ax正好是列向量x的λ倍,即:向量x乘上矩阵A的结果仅仅是改变向量x的长度。那么,这个x和A一定有着某种联系(因为x被A作用之后x的方向压根就没变),就好像很多故事中将保护公主的人称为骑士一样(公主和骑士是有联系的),那这里就把这个x称作A的特征向量。 OK,等号左边至少可以理解了吧,然后为了描述等号右边,就把λ称作特征向量x的特征值。 PS:上学时我们经常这样求解特征值和特征向量: 根据定义,立刻得到(A-λI)x= 0,令关于λ 的多项式|A-λI|为0,方程|A-λI|=0的根为A的特征值;将根λ带入方程组(A-λI)x = 0 ,求得到的非零解,即λ对应的特征向量。 不过,虽然这样能解,但这样没啥实际价值。实践中一般使用Q·R分解。 性质: 1,设n阶矩阵A=(aij) 的特征值为λ1 ,λ2 ,...λn ,则 a,λ1+ λ2 + ... + λn =a11 + a22 + … + ann 即:矩阵A的主对角线的元素的和 = 特征值的和 于是乎A的主对角线一定是十分重要的,那么我们就给它一个称呼吧,于是我们把矩阵A主行列式的元素和,称作矩阵A的迹。 b,λ1λ2… λn =|A| 即:特征值的乘积 = A的行列式 2,已知λ是方针A的特征值,则 a,λ2是A2的特征值 b,A可逆时,λ-1是A-1的特征值 3,如果A0= I,则λk是Ak的特征值,k∈R。 4,设λ1 ,λ2 ,...,λm 是方阵A的m个特征值,p1 ,p2,...,pm 是依次与之对应的特征向量,若λ1 ,λ2 ,...,λm 各不相等,则p1 ,p2 ,...,pm 线性无关。 即:不同特征值对应的特征向量线性无关。 5,实对称阵不同特征值的特征向量正交 6,对称矩阵A的特征向量是x,则xTAx是一个对角阵。 PS:如果A不是对称阵,则x-1Ax是对角阵。 最终结论: 设A为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得 P-1AP= PTAP = Λ Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵。 该变换称为“合同变换”,A和Λ互为合同矩阵。
|
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |