单调性、周期性、奇偶性、有界性：

周期性、奇偶性各记住一个结论。

有界性判定：

最主要用的就是单调性来判断符号，奇偶性缩减区间，就是利用函数的性质来证明。

方程根的个数利用划分单调区间证明。

这里有时候会用到证明极限的存在：

极限存在的两个重要法则：1）夹逼定理；2）单调有界定理

罗尔定理：

补充一个点：

导函数的至少（至多）零点问题：

注意：可积不等价于存在原函数

常见有比较积分的大小，通过奇偶性计算积分等

注意比较积分的大小非常重要，参考语雀笔记15

这里注意可以通过f(x)的正负判断积分的正负，但不能用F（x）判断导函数的正负。

分部积分：反对幂指三（保留顺序）

不定积分换元时，结果要替换回原来的代换。

分段函数求积分，分段求，不规则函数记得写成分段函数。

有理函数积分：

1）分子次数比分母高，化为多项式加真分式

2）分母能分解，分解因式、裂项

3）分母不能分解，分子凑分母的微分，或特殊函数

对称区间的定积分计算，不想说。

定积分的几何意义，以及求数列的极限（不要忘了）。

计算有关周期函数定积分常用到的结论：

这里有很多陷阱，注意规避。

在考研范围内，你所遇到的几乎所有变限积分都会用到变限积分公式。

变限积分的使用：

所以重点还是求极限。

重要结论：

​ 若f(x)为[a,b]上的可积函数，F(x)= ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)dt ∫ax​f(t)dt ，则F（x)连续且:

若f(x)连续，则F可导且F` (x)=f(x)。

若f不连续，则：1.f有可去间断点，F可导但间断点处F的导数不等于f

​ 2.f有跳跃间断点，F在f的跳跃间断点不可导

反常积分的计算通常包含瑕点（奇点）的问题，只要奇点在积分区间内，无论是端点还是中间，都要分段积分。

计算的都比较简单，主要是判断反常积分的审敛性。

通过积分计算判断反常积分的收敛是最基础的，下面才是提升。

无穷区间的反常积分的审敛：

无界函数的反常积分的审敛：

不记得 就复习高图或者世纪高教都行。

定积分的应用公式键手写笔记。

这里以世纪高教的例题为例：

1.积分与微分方程结合，求f(x)

2.积分的意义与极限结合，求极限

3.关于积分的证明题（重点）

遇到这种概念题，一般是选择题，直接代特例

可微的定义： lim ⁡ x → 0 , y → 0 f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) − A x − B y x 2 + y 2 \lim_{x\rightarrow0,y\rightarrow0}\frac{f(x,y)-f(0,0)-Ax-By}{\sqrt{x^2+y^2}} limx→0,y→0​x2+y2 ​f(x,y)−f(0,0)−Ax−By​=0则可微

这里的A、B分别表示f(x,y)关于x、y的偏导数

这里经常是极限存在、连续、（偏）导数存在、可微，关系递进。前面不满足后面一定不满足，后面满足前面一定满足。

详细请看语雀。

隐函数求偏导，公式记清楚。

先对x求导再对y求偏导 与 先对y求偏导再对x求偏导 结果相等

所谓的变换就是利用中间变量求偏导的问题

求f（x,y）分别对x和y的一阶偏导，求驻点

A=F关于x求二阶偏导，B=F关于x求偏导后再对y求偏导，C=F关于y求二阶偏导

AC-B2 >0时才有极值，A>0极小，A