掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质

　　通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。 定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。如果A不与B等势，则记作AB。 　　下面给出一些集合等势的例子。例9.1 (1) Z≈N。回顾上一章例8.6(3)，令 　　　　f：Z→N， 则f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。 　　(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。按照图中箭头所标明的顺序，从开始数起，依次得到下面的序列： 　　　　，，，，，，… 　　　　　↓　　　↓　　　 ↓　　　↓　　　↓　　　↓ 　　　　　0　　　　1　　　 2　　　 3　　　 4 　　　5　　设是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。考察m，n，k之间的关系。首先计数点所在斜线下方的平面上所有的点数，是

定义9.2 　　(1) 设A，B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优势于A，记作A·B。如果B不是优势于A，则记作A·B。 　　(2) 设A，B是集合，若A·B且AB，则称B真优势于A，记作A·B。如果B不是真优势于A，则记作A·B。 　　例如N·N，N·R，A·P(A)，R·N。 又如N·R，A·P(A)，但N·N。 　　优势具有下述的性质。 定理9.3 设A，B，C是任意的集合，则

 定义9.4 设A为集合,如果满足下面的两个条件： 　　（1）∈A 　　（2）a(a∈A→a+∈A) 则称A是归纳集。 　　例如下面的集合 　　　　{,+,++,+++,…} 　　　　{,+,++,+++,…,a,a+,a++,a+++,…} 都是归纳集。 定义9.5 　　（1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。 　　（2）自然数集N是所有归纳集的交集。 　　不难看出，根据定义9.5得到的自然数集N恰好由,+,++,+++,…等集合构成。而这些集合正是构造行所定义的全体自然数。 　　鉴于自然数都是集合，有关集合的运算对自然数都是适用的，例如： 　　　　2∪5={0,1}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}=5 　　　　3∩4={0,1,2}∩{0,1,2,3}={0,1,2}=3 　　　　4-2={0,1,2,3}-{0,1}={2,3} 　　　　2×3={0,1}×{0,1,2}={,,,,,} 　　　　P(1)=P({0})={,{0}}={0,1} 　　　　23={0,1}{0,1,2}={f|f：{0,1,2}→{0,1}}={f0,f1,…,f7}　　其中 　　　　f0={,,} 　　　　f1={,,} 　　　　f2={,,} 　　　　f3={,,} 　　　　f4={,,} 　　　　f5={,,} 　　　　f6={,,} 　　　　f7={,,}

　　下面给出基数的定义。 定义9.7 　　（1）对于有穷集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基数，记作cardA，即 　　　　cardA=nA≈n （对于有穷集A，cardA也可以记作|A|） 　　（2）自然数集合N的基数记作，即 　　　　cardN=0 　　（3）实数集R的基数记作（读作阿列夫），即 　　　　cardR= 　　下面定义基数的相等和大小。