导数是线与 f(x) 相切的斜率，但是准确来说什么是切线呢？

当 Q\rightarrow P （ P 固定）时，割线 PQ 的极限，斜率 \overline{PQ} 如下图所示：

当求导时我们应该记住：我们很容易直接将 \Delta x =0 。但是当我们这样做的时候，最终就会得到 \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{0}{0} ，我们经常需要取消这一步才能得到答案。

当 \Delta x\rightarrow 0 时取极限，得到如下表达式：

因此，

注意当割线的斜率在图的上方时， f^{'}(x_0) 是负数。

在 （x_0,y_0） 这点使用我们在高中代数部分已经学过的切线方程公式：

将 y_0 = f(x_0)=\frac{1}{x_0} 和 f^{'}(x_0) = \frac{-1}{x_0^{2}} 带入上述方程进行替换可以得到：

接下来将展示怎样计算切线与 x 轴和 y 轴所围成的函数图像，如图 4 所示.

首先计算切线与 x 轴相交的坐标，将 y=0 带入切线方程中，我们可以得到 x 轴的坐标：

因此，切线与 x 轴相交的坐标为 x=2x_0 .

我们可以直接得到 y = 2y_0 这一结论，因为 y=\frac{1}{x} 与 x=\frac{1}{y} 是相同的方程，当 x 和 y 交换时，这个方程是对称方程。如果不相信，可以自行进行计算并证明。

最终，

有意思的是，无论切线与这个函数图像怎样相切，且切线与坐标轴所围成的三角形的面积总是2。

由于微积分这一领域是由一些不同的人提出并对其进行完善的。因此，它有很多不同的数学符号去表达。导数也有很多不同的数学符号表达。

像 y= f(x) ，它通常可以写为：

如果我们将两边同时除以 \Delta x ，我们可以得到差商方程的两种不同表示方法：

取 \Delta x\rightarrow0 的极限，我们可以得到：

当我们使用Leibniz'的符号说明，需要记住在具体的例子上面添加 x=x_0 .

等价的关于 f 斜率的符号表达还有：

什么是 \frac{d}{dx} x^n ?

为了求出这个答案，我们将 y=f(x) 带入到方程中可以得到：

在这里，我们将 x_0 替换为 x ，只是为了方便书写。又因为：

我们可以得到：

其中 O(\Delta x)^2 =(\Delta x)^2+(\Delta x)^3+...

对方程进行化简，我们可以得到：

取极限：

因此，

\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

这个结果可以推广到多项式。例如：

你可以将导数理解为变化率（速度就是其中的一个例子）。

MIT的学生在万圣节都会将南瓜从楼顶扔下，楼顶距离地面高度约400英尺。而物体距离地面的运动方程为：

南瓜在空中的平均速度 =\frac{\Delta {y}}{\Delta x}=\frac{distance travelled}{time elapsed} ,当南瓜撞击地面时， y=0 ,此时：

我们得到 t=5 ,因此南瓜需要 5 秒触地，那么南瓜在空中的平均速度为：

我们可能对南瓜撞击到地面上的速度更感兴趣，为了求出 t=5 时的瞬时速度，我们需要计算 y{'} :

y^{'} 是负的，因为南瓜的 y 轴坐标在减小：它再向下移动。

笔者现在为研0小白一枚，自制力比较差，最近发现写博客很有意思，容易坚持下去，因此开了专栏督促自己学习。如果有时间的话，应该每天都会更新，也希望与知乎的友友们共同共同成长，一起进步！如果专栏内容有错误，欢迎大家批评指正。