材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．

（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；

（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．

答案

【解析】（1）根据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．

（2）先设未知数表示出M，然后根据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．

解：（1）∵415是“5阶k级数”，

所以为整数，

∵k＜300，

∴k的最大值为205．

（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，

∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）

∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，

∴与均为整数，

∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，

∴y＝6或1，

当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，

＝＝77x+24﹣，

∴x＝8，

∴M＝8311．

当y＝6时，M﹣4＝1000x+812

＝＝77x+63﹣，

∴x＝6，

∴M＝6816．

综上所述，满足要求的M为8311或6816．