Author: nex3z 2018-07-26

Math

Bayes, Python

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　　M&M 豆是一种混合各种颜色的巧克力豆，生产厂商会不时地调整各种颜色的巧克力豆之间的比例。1995 年之前，一袋 M&M 豆的颜色比例为：30% 褐色，20% 黄色，10% 绿色，10% 橙色，10% 黄褐色。1995 年推出了蓝色巧克力豆，此时一袋 M&M 豆的颜色比例变为：24% 蓝色，20% 绿色，16% 橙色，14% 黄色，13% 红色，13% 褐色。

　　假设有 1994 年和 1996 年的 M&M 豆各一袋，但不知道那一袋是哪一年的。现在从两袋中各取一个巧克力豆，发现一个是黄色，一个是绿色，求黄色豆子来自 1994 年袋子的概率。

　　记取出黄色豆子的袋子为袋 1，另一个袋子为袋 2，假设 $H_A$ 为袋 1 是 1994 年的，袋 2 是 1996 年的；假设 $H_B$ 为袋 1 是 1996 年的，袋 2 是 1994 年的。记 D 为从两袋中各取一个巧克力豆，得到黄色和绿色豆子各一个。

　　可以认为 $H_A$ 和 $H_B$ 等可能，即：

\begin{equation} P(H_A) = P(H_B) = 0.5 \tag{1} \end{equation}

　　根据问题描述可知，从 1994 年袋子中取出黄色豆子的概率为 20%，取出绿色豆子的概率为 10%；从 1995 年袋子中取出黄色豆子的概率为 14%，取出绿色豆子的概率为 20%。由此可知，如果 $H_A$ 成立，则黄色豆子来自袋 1，绿色豆子来自袋 2，其概率为 $20% \times 20% = 0.04$；同理，如果 $H_B$ 成立，则黄色豆子来自袋 2，绿色豆子来自袋 1，其概率为 $14% \times 10% = 0.014$，即：

\begin{equation} P(D|H_A) = 0.04 \tag{2} \end{equation}

\begin{equation} P(D|H_B) = 0.014 \tag{3} \end{equation}

　　由全概率公式，可得 D 发生的概率为：

\begin{equation} P(D) = P(H_A)P(D|H_A) + P(H_B)P(D|H_B) = 0.5 \times 0.04 + 0.5 \times 0.014 = 0.027 \tag{4} \end{equation}

　　由贝叶斯公式，得黄色豆子来自 1994 年袋子的概率，即 $P(H_A|D)$ 为：

\begin{equation} P(H_A|D) = \frac{P(H_A)P(D|H_A)}{P(D)} = \frac{0.5 \times 0.04}{0.027} = \frac{20}{27} \approx 0.7407 \end{equation}

　　定义 MM 类如下：

其中 mix_94 和 mix_96 保存了两袋豆子中的颜色比例，hypo_a 和 hypo_b 分别对应 $H_A$ 和 $H_B$。 likelihood() 方法的 data 参数为取出豆子的袋子和豆子颜色组成的元组，如 ('Bag 1', 'yellow') 表示从袋 1 中取出了黄色豆子；hypo 参数为假设，即 A 或 B。

　　MM 的使用方法为：

输出为：

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