信道估计 |
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前言
最近在学习 5G NR 的仿真，无论是控制信道还是数据信道，都涉及到信道估计的相关算法，如 LMMSE 和 基于 PDP 的 LMMSE 算法等。并且常常把信道估计和信道均衡搞混，因为都有 MMSE 算法？于是打算从基本概念、常用算法及其公式推导等方面学习一下信道估计理论，并将学习的博客资料整理下来。本文主要介绍基于参考信号的信道估计算法：LS、MMSE 和 LMMSE。其中 LS 和 MMSE 部分的误差分析推导来自于：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。 一、基本概念定义：从接收数据中将假定的某个信道模型的模型参数估计出来的过程。如果信道是线性的话，那么信道估计就是对系统冲激响应进行估计。估计算法的基本思想是令某种估计误差最小化。 分类： 从输入数据类型区分，可划分为时域和频域两类，频域方法主要针对多载波系统；时域方法适用于所有单载波和多载波系统。 从先验信息的角度，可分为以下三类： 基于参考信号的估计（非盲估计）。按一定估计准则确定待估参数，依赖于训练序列或导频序列。常用算法如 LS 算法（最小二乘准则）、MMSE 算法（最小均方误差准则）和 LMMSE 算法等。 基于训练序列的信道估计算法适用于突发传输（短时间进行高带宽数据传输）方式的系统。通过发送已知的训练序列，在接收端进行初始的信道估计，当发送有用的信息数据时，利用初始的信道估计结果进行一个判决更新，完成实时的信道估计。基于导频符号的信道估计适用于连续传输的系统。通过在发送的有用数据中插入已知的导频符号，可以得到导频位置的信道估计结果；接着利用导频位置的信道估计结果，通过内插得到有用数据位置的信道估计结果，完成信道估计。 盲估计。利用调制信号本身固有的、与具体承载信息比特无关的一些特征，或是采用判决反馈的方法来进行信道估计的方法。主要有基于最大期望的信道估计、基于子空间的信道估计技术等。 半盲估计。以上两种方法的结合，即盲估计+较短的训练序列。主要有基于 DFT 的信道估计以及基于判决反馈信道估计等。 比较 基于参考信号的信道估计算法复杂度低，但需要额外的参考信号开销，会降低频谱效率； 盲估计和半盲估计频谱效率高，但复杂度也高，且可能出现相位模糊（基于子空间的方法）、误差传播（如判决反馈类方法）、收敛慢或陷入局部极小等问题。实际工程中更多采用的是基于参考信号的估计算法。 二、基本假设考虑一般的接收信号模型： \[\mathbf{y}=\mathbf{X h}+\mathbf{z} \]其中，\(\mathbf{y}\in\mathbb{C}^{N\times1}\) 为接收信号向量，\(\mathbf{h}\in\mathbb{C}^{M\times1}\) 为信道向量，\(\mathbf{X}\in\mathbb{C}^{N\times M}\) 为发送信号矩阵（导频），\(\mathbf{z}\in\mathbb{C}^{N\times 1}\) 为噪声向量，且 \(\mathbf{z}\sim\mathcal{CN}(\mathbf{0},\sigma_z^2\mathbf{I})\)。 三、LS 算法 3.1 公式推导LS 算法基于最小二乘准则，优化目标是**实际观测量 \(\mathbf{y}\) 与估计观测量 \(\mathbf{X\hat{h}}\) **间误差最小。即令下述目标函数最小化： \[\begin{aligned} \mathrm{J}(\hat{\mathbf{h}})_{\mathrm{LS}}&=||\mathbf{y-X\hat{h}}||^2\\ &=(\mathbf{y-X\hat{h}})^\mathrm{H}(\mathbf{y-X\hat{h}})\\ &=\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}\mathbf{\hat h}-\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}+\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}\mathbf{\hat h} \end{aligned} \]令该函数的一阶导为0，即：（这里是标量对向量求导，可以利用矩阵迹的性质，可参考文章：矩阵的迹——性质及运算） \[\frac{\partial \mathrm{J}(\hat{\mathbf{h}})_{\mathrm{LS}}}{\partial \hat{\mathbf{h}}}=-(\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{\mathrm{T}}+(\mathbf{\hat h}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{\mathrm{T}}=0 \]可得到 LS 信道估计的解： \[\mathbf{\hat h}_{\mathrm{LS}}=(\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\mathrm{H}}\mathbf{y} \]这里求解的方法除了求导以外，还可以利用配方法和投影法，另外两种方法可以参考这位大佬的文章：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。 当发送信号矩阵 \(\mathbf{X}\) 满秩时，可化简为： \[\mathbf{\hat h}_{\mathrm{LS}}=\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y} \]3.2 估计误差LS 估计算法忽略了噪声的影响，因为它使用的是实际观测量与估计观测量的误差，这并不能精确的代表估计量的真值与估计值的误差。从其估计值和真实值间的均方误差可以看出来： \[\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{LS}} &=\mathbb{E}\left\{\left\|\hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{LS}}-\mathbf{h}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left\|\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}(\mathbf{X h}+\mathbf{z})-\mathbf{h}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left\|\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right\|^{2}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\left(\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right)^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\operatorname{tr}\left(\mathbf{z}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-2} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{z}\right)\right\} \\ &=\operatorname{tr}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbb{E}\left\{\mathbf{z} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \mathbf{X}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-2}\right) \\ &=\operatorname{tr}\left(\sigma_{z}^{2}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\right)\\ &=\frac{\sigma_z^2}{\sigma_x^2}\\ &=\frac{1}{\mathrm{SNR}} \end{aligned} \]由此可知，在低信噪比下，LS 估计算法的估计误差将会非常大。 四、MMSE 算法 4.1 公式推导MMSE 算法基于最小均方误差准则，以信道估计值和真实值误差最小化为优化目标，由滤波矩阵和接收信号向量组成，即 \(\mathbf{\hat h}_{\mathrm{MMSE}}=\mathbf{W}\mathbf{y}\)。其目标函数为： \[\begin{aligned} \mathrm{J}(\mathbf{W})&=\mathbb{E}\left\{||\mathbf{\hat{h}-h}||^2\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{\mathbf{W}\mathbf{y}-h})^\mathrm{H}(\mathbf{\mathbf{W}\mathbf{y}-h})\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}-\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}+\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}\right\}\\ &=\mathbb{E}\left\{\operatorname{tr}\left(\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}-\mathbf{y}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}-\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}\mathbf{y}+\mathbf{h}^{\mathrm{H}}\mathbf{h}\right)\right\} \end{aligned} \]同样利用标量对向量求导的运算方法，令其一阶导为0，得到 \[\frac{\partial \mathrm{J}(\mathbf{W})}{\partial \mathbf{W}}=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{yy}^{\mathrm{H}}\mathbf{W}^{\mathrm{H}})^{\mathrm{T}}-(\mathbf{y}\mathbf{h}^{\mathrm{H}})^{\mathrm{T}}\right\}=0 \]因此对应的滤波矩阵为 \[\begin{aligned} \mathbf{W}&=\mathbb{E}\left\{\mathbf{hy}^{\mathrm{H}}\right\}\mathbb{E}\left\{\mathbf{yy}^{\mathrm{H}}\right\}^{-1}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hy}}\mathbf{R}_{\mathbf{yy}}^{-1} \end{aligned} \]其中， \[\begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathbf{h y}} &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{y}^{\mathrm{H}}\right\}=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h}(\mathbf{X} \mathbf{h}+\mathbf{z})^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{h}^{\mathrm{H}}\right\} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\mathbb{E}\left\{\mathbf{h} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \\ \mathbf{R}_{\mathbf{yy}} &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{y} \mathbf{y}^{\mathrm{H}}\right\}=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{X} \mathbf{h}+\mathbf{z})(\mathbf{X h}+\mathbf{z})^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbb{E}\left\{\mathbf{X h h ^ { \mathrm { H } }} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}\right\}+\mathbb{E}\left\{\mathbf{z} \mathbf{z}^{\mathrm{H}}\right\} \\ &=\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I} \end{aligned} \]因此，MMSE 信道估计值为： \[\begin{aligned} \hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{MMSE}}&=\mathbf{R}_{\mathbf{hy}}\mathbf{R}_{\mathbf{yy}}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}\left(\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{X}^{-1}\left(\mathbf{X R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)(\mathbf{X}^{\mathrm{H}})^{-1}\right]^{-1}\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_z^2\left(\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}\right)^{-1}\right]^{-1}\mathbf{X}^{-1}\mathbf{y}\\ &=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_z^2\left(\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}\right)^{-1}\right]^{-1}\mathbf{\hat h_{\mathrm{LS}}} \end{aligned} \]注意：最后一个等号满足的条件是 \(\mathbf{X}\) 满秩。 4.2 估计误差MMSE 算法考虑了噪声的影响，其估计值与真实值之间的均方误差为 \[\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{MMSE}}&=\mathbb{E}\left\{(\mathbf{\hat h-h})^{\mathrm{H}}(\mathbf{\hat h-h})\right\}\\ &...\\ &=\sigma_z^2\operatorname{tr}\left\{\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1} \right\} \end{aligned} \]具体推导过程请参考这位大佬的文章：LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导。此处不再详细描述。 此外，通过比较 LS 和 MMSE 均方误差大小，可以看出在均方误差意义上，MMSE 的性能优于 LS 的性能： \[\begin{aligned} \varepsilon_{\mathrm{LS}}-\varepsilon_{\mathrm{MMSE}} &=\sigma_{z}^{2} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}-\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{2} \operatorname{tr}\left\{\left(\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{h}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)-\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\right)\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{4} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{I}\right)^{-1}\right\} \\ &=\sigma_{z}^{4} \operatorname{tr}\left\{\left(\mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X} \mathbf{R}_{\mathbf{hh}} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}+\sigma_{z}^{2} \mathbf{X}^{\mathrm{H}} \mathbf{X}\right)^{-1}\right\} \end{aligned} \]其中，迹函数中的两个矩阵分别是半正定和正定的，因此该式大于0，故 LS 算法的估计误差大于 MMSE 算法的估计误差。 五、LMMSE 算法LMMSE 信道估计是在 MMSE 信道估计的基础上做了一次线性平滑。因为随着输入信号和噪声的变化，MMSE 算法需要不断进行矩阵求逆运算（包含两个矩阵求逆），计算量非常大。因此可以考虑将 MMSE 式中的 \(\mathbf{X}^{\mathbf{H}}\mathbf{X}\) 用其均值来替代，可以减少一个矩阵求逆的运算量。 这样做的原因在于：该矩阵是一个 \(M\times M\) 的方阵，对角线上是导频信号的功率值，非对角线元素则是导频信号与其延迟信号的相关，该相关值可近似为满足标准正态分布的信号，即均值为0。故可以用均值来替代原来的矩阵，以损失部分精度为代价，大幅降低计算复杂度。 则对应的 LMMSE 估计值可以表示为 \[\hat{\mathbf{h}}_{\mathrm{LMMSE}}=\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}\left[\mathbf{R}_{\mathbf{hh}}+\frac{\beta}{\mathrm{SNR}}\right]^{-1}\mathbf{\hat h_{\mathrm{LS}}} \]其中，\(\beta\) 是调制类型参数，当采用 QPSK 调制时，\(\beta=1\)，采用 16QAM 时，\(\beta=17/9\)。 此时每次传输只需要进行一次求逆即可，可以通过 SVD 等方法继续简化，具体推导可见：信道估计之LMMSE估计。 参考链接 信道估计 LS信道估计和MMSE信道估计部分公式推导 矩阵的迹——性质及运算 信道估计---LS、MMSE、LMMSE准则 信道估计之LMMSE估计 |
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