张丽梅1, 王成智2,赵学达1

(1.大连海洋大学 理学院，辽宁 大连 116023；2.大连海洋大学 信息工程学院 辽宁省海洋信息技术重点实验室，辽宁 大连 116023)

摘要：运用灰色关联度与多变量灰色系统理论对中国1986—2011年水产品产量时间序列进行了实证分析。首先用灰色关联分析方法将水产品产量所包含的5组时间序列即海洋捕捞、远洋渔业、海水养殖、淡水捕捞、淡水养殖产量进行了分类；再将关联度达到0.9以上的海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量3组时间序列划分为一组并运用多变量灰色MGM(1,n)模型对其进行建模，由于这3组序列关联度高且单个序列累加数据近似服从指数分布，因而拟和结果数据逼近初始数据；对关联度达到0.8的远洋渔业与淡水捕捞两组时间序列,也尝试用MGM(1,n)模型进行建模，结果模型拟合略有欠缺。本研究中的这种建模方法既考虑了序列间的内在联系，又避免了分别使用单一序列建模割裂序列相互制约因素的情况发生，图示与误差分析结果均显示该方法具有效性。

关键词：多变量灰色系统;灰色关联度;MGM(1,n)模型;微分方程组

随着时间序列理论研究的深入，对于少数据、贫信息且近似服从指数分布的单变量灰色系统理论与实证研究也越来越深入[1-2]。在理论的推广与扩展中，多变量灰色模型及其应用[3-4]解决了以往用单变量建模时未考虑序列间内在复杂关系等的不足，蒋辉[5]还探讨了将多变量灰色系统与支持向量机进一步结合的模型构建方法。应用多变量灰色系统建模可以将序列所受政治、经济、环境、人文、供需关系等诸多影响因素反映到模型中，因而具有广泛的应用前景。近年来，随着人们对海洋的关注和对数据分析与处理能力的增强，对于水产数据所形成的时间序列的实证分析被广泛研究并形成了许多有意义的结论。周井娟等[6-7]分别对国内海洋捕捞产量及海水养殖产量进行了分析，在单一使用ARMA模型或Logistic模型拟合的基础上，重点对实证进行了研究。由于海洋捕捞产量及海水养殖产量具有内在的联系，所以单一建模还未能将序列间的内在关系反映到模型中。

本研究中，所用数据来源于2012年中国渔业统计年鉴[8]。以1986—2010年调整后的中国水产品产量所包括的海洋捕捞、远洋渔业、海水养殖、淡水捕捞、淡水养殖产量5个时间序列为实证研究示例，在考虑这5个时间序列的内在结构与关联关系的前提下，运用多变量灰色系统对其建模，实现用相关序列构建同一模型的近似序列关联建模方法。通过对水产品产量数据所包含的5个时间序列进行分析，发现海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量时间序列比较接近，而远洋渔业、淡水捕捞产量时间序列比较接近，为此分两组数据进行比较(图1)。这些时间序列所表现出的内在数学关系对有关部门制定可持续发展战略以及研究人员从事科学研究具有重要意义。

时间序列的多变量灰色模型MGM(1,n)能够对多组时间序列统一构建一组n元常微分方程组，它是单一灰色系统模型GM(1,1)的推广。对于本例，如果直接按5个时间序列建立MGM(1,5)模型，确实实现了对数据间关系的极大统一，但由于这5组序列间的关联度、序列趋势可能具有较大差异，所以必须先对序列间的灰色关联度进行分析，以确定直接建立MGM(1,5)模型是否具有可行性。

图1 中国1986—2010年调整后的水产品产量时间序列图Fig.1 Adjustment time series diagrams of partial outputs of fish and fishery products in China from 1986 to 2010

灰色关联度分析是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断序列是否紧密的方法。曲线形状越接近，相应序列之间的关联度越大，反之，曲线形状越偏离，相应序列之间的关联度就越小。目前，已经有许多关联度的量化模型，本研究中选用文献[9]中给出的方法，对上述5组时间序列的灰色关联度进行判断。

设水产品产量所包含的海洋捕捞、远洋渔业、海水养殖、淡水捕捞、淡水养殖产量为矩阵的列指标，按序分别记为序列1、序列2、序列3、序列4、序列5。从1986—2010年每一年的海洋捕捞、远洋渔业、海水养殖、淡水捕捞、淡水养殖产量数据构成矩阵的一行，即每一年各指标值形成矩阵的一个行，这样形成的矩阵记为A25×5。

首先将第一列海洋捕捞数据作为参考序列，比较其他序列与之关联的程度。记

，

。

(1)

则第1列与第j列(j=2,3,4,5)之间的灰色关联度记为

，

(2)

式中，ξ=0.5为分辨系数，通常取在(0,1)之间。

据此得出序列1与序列2、序列3、序列4、序列5的灰色关联度分别为0.768 269、0.927 187、0.785 911、0.900 688。序列1与序列3以及序列1与序列5的关联度均大于0.9，据此确定序列1、序列3、序列5为一组进行联合建模，同时序列1、序列3、序列5所表示的海洋捕捞、海水养殖和淡水养殖产量的各个单序列均具有累加数据近似服从指数分布的特性，因此，拟对此建立多变量灰色MGM(1,3)模型。

又以序列2作为参考序列计算其与序列4之间的灰色关联度，其值为0.806 975，类似地，将序列2与序列4联合建立多变量灰色MGM(1,2)模型。

设有n个单项时间序列，每个序列有m个数据,将整体灰色序列记为

(k=1,2,…,m)。

记为相应的一次累加生成序列，则

X(1)(1)=X(0)(1)，

(3)

(k=2,…,m)。

多变量灰色模型MGM(1,n)为n元常微分方程组：

。

(4)

则式(4)可简记为

，

(5)

式中，A=(aij)n×n，B=(b1b2…bn)T。

式(5)的连续解为

X(1)(t)=eAtX(1)(0)+A-1(eAt-E)B,

(6)

式中，E为n阶单位矩阵。

为辨别参数矩阵A和B，需要将式(4)离散化，并用最小二乘法求解，这里仅给出获得辨别参数矩阵A和B的步骤，更详细的讨论见文献[3，9-10]。设参数矩阵A和B的辨别矩阵分别为

，

。

记,则

(i=1,2,…,n)。

这些列形成如下矩阵：

。

则由最小二乘法可得矩阵A和B的辨别矩阵。

。

(7)

式中：

，

这样MGM(1,n)模型的计算值为

(8)

(k=1,2,…,m)。

由，可得对应的拟和值。

基于上述MGM(1,n)模型的构建原则，以及根据灰色关联度所做的序列组的划分，所建立的模型如下：

对1986—2010年海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量时间序列所建立的MGM(1,3)模型为

。

(9)

原数据序列与拟合数据序列的效果见图2。根据平均预测误差计算公式：

，

(10)

计算出海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量及其拟合数据的平均预测误差分别为0.073 910、0.073 443、0.063 205，结果显示，所建立的模型对海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量均具有较好的拟合度。

同理对1986—2010年远洋渔业、淡水捕捞产量时间序列所建立的MGM(1,2)模型为

(11)

原数据序列与拟合数据序列的效果见图3，根据式(10)计算出两个序列的平均预测误差分别为0.084 695、0.098 812。无论是图示还是平均预测误差均表明，对远洋渔业、淡水捕捞产量时间序列的拟和不如对海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量时间序列的拟和效果好。

根据现有模型对2011年数据进行短期预测，对这5个时间序列分别用公式(9)、(11)进行预测，预测结果与相对误差如表1所示。从表1可见，总体上预测值与实际值之间的平均相对误差在较小的范围内，但由于数据受到当年政治、经济等诸多不可预测因素的影响，因此，短期预测的结果仅可以作为趋势参考，如果作为数据参考应将其扩大至参考区间。

表1 2011年水产品产量实际值及其预测值的比较Tab.1ComparisonoftheactualvolumesandtheirfittingdataoffishandfisheryproductsinChinain2011 万t

水产品产量 fishandfisheryproducts实际值actualvolumes预测值predictedvolumes相对误差relativeerror海洋捕捞marinecapture1241 941054 200 151166远洋渔业deep-seafishing114 78142 410 240741海水养殖mariculture1551 331403 500 095258淡水捕捞freshwatercapture223 23266 100 192050淡水养殖freshwaterculture2471 932303 300 068218

图2 海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量时间序列及其拟合数据的比较Fig.2 Comparison charts among the time series of the output of marine capture,output of mariculture,and output of freshwater culture and their fitting data apart

图3 远洋渔业、淡水捕捞产量时间序列及其拟合数据的比较Fig.3 Comparison of the output of distance fisheries, the output of freshwater capture and their fitting data apart

本研究中依据灰色关联关系和多变量灰色MGM(1,n) 模型方法，对1986—2011年水产品产量数据序列进行了实证分析。先对水产品产量所包含的5组时间序列(即海洋捕捞、远洋渔业、海水养殖、淡水捕捞、淡水养殖产量)用灰色关联度方法进行了分类。根据实际序列情形，将关联度大于0.9的海洋捕捞、海水养殖、淡水养殖产量时间序列分为一组并建立了MGM(1,3)模型，由于这3组序列关联度高且单个序列累加数据近似服从指数分布，因而收到较好的拟合效果。将关联度大于0.8而未达到0.9的远洋渔业、淡水捕捞产量两个时间序列分为一组并采用MGM(1,2)模型也进行了建模，由于这两组时间序列均存在指数函数偏离现象，因此，模型拟合精度略有欠缺。总之，本研究中对多组时间序列所采用的分组建模方法考虑了序列间的内在联系，避免了分别使用单一序列建模割裂序列相互制约因素的情况发生，为揭示中国历年水产品产量各序列间的内在联系与总体趋势提供了行之有效的方法，对海洋领域中同类问题的研究具有借鉴作用。

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[7] 周井娟,林坚.我国海水养殖产量波动影响因素的实证分析[J].西北农林科技大学学报,2008,8(5):48-51.

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[10] 姚德民,李汉玲.系统工程实用教程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2002:85-122.

ZHANG Li-mei1，WANG Cheng-zhi2，ZHAO Xue-da1

(1.College of Sciences, Dalian Ocean University, Dalian 116023，China;2.College of Information Engineering, Key Laboratory of Marine Information Technology of Liaoning Province, Dalian Ocean University, Dalian 116023，China)

Abstract：The empirical analysis of time series of output of fish and fishery products in China from 1986 to 2011 was conducted using the theories of grey correlation degree and multi-variable grey system. Firstly, the five time series of the output including output of marine capture, output of distance fisheries, output of mariculture, output of freshwater capture and output of freshwater culture were classified by a method of grey correlation analysis. The three time series of output of marine capture, output of mariculture and output of freshwater culture with grey correlation degree of more than 0.9 were categoried into one group and fitted the three sets of time series by multi-variable grey model MGM(1,n). The fitting data were approximate to the initial data in the three time series apart whose correlation degrees were high and distributions of the accumulate data were of exponential function. The two time series of output of distance fisheries and the output of freshwater capture with correlation degree of more than 0.8 were attempted to be modeled by MGM(1,n). The internal relation among the time series was taken into account and the situation of splitting the mutual restricting factors in the time series was avoided when the models were reconstructed only by every time series separately. The effectiveness of the method is approved by graphics and the errors analysis.

Key words：multi-variable grey system; grey correlation degree; MGM(1,n) model; system of differential equation

DOI：10.3969/J.ISSN.2095-1388.2014.05.018

文章编号：2095-1388(2014)05-0520-05

收稿日期：2013-12-19

基金项目：辽宁省农业科技攻关项目(2012216012)

作者简介：张丽梅(1965—)， 女， 博士，教授。E-mail:[email protected]

中图分类号：S11

文献标志码：：A