Hello大家好，今年数学建模国赛将于9月中旬举行，是时候提前做一些准备了。

本次模型非常简单，只是介绍比较得详细，我下次注意，争取限制下字数。

文末准备了 层次分析-python  模型的实现，简单懂得模型原理便能一眼看懂代码。

文章目录

一、层次分析法的例题

1.1 两两比较获得判断矩阵

1.2 一致性正互反矩阵的引入

1.2.1 一致性检验的步骤

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重 

二、层次分析法

步骤：

三、层次分析法的一些局限性

四、模型拓展

1. 多个准则层： 

2. 准则不对应全部方案：

*3. 一个准则只对应自己的方案

五、代码展示

代码1：

代码2： 

层次分析(The analytic hierarchy process) 简称AHP，是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀等。） 

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。

引例：

高考结束，坤坤面临选择大学的问题，摆在他面前的选择有两个：大学A和大学B。

坤坤觉得，他最关心的有四个方面：学习氛围，就业前景，男女比例，校园景色，权重分别为0.4，0.3，0.2，0.1。

那么坤坤要完成的，就是通过调查这两所学校的上面4个特征指标，对其进行打分，完成下表：

最终，经过坤坤百度以及各种调查，打分如下(要求同一特征不同大学分数之和为1)：

经计算：

B>A 因此最终小坤去了大学B。

即打分法解决评价问题时，只需要我们补充完成下面这张表格即可：

同颜色单元格之和为1。

题目：

选择好大学后，坤坤准备在开学前去旅游，他决定在城市A，城市B，城市C中选择一个作为目标地点。

请你确定评价指标、形成评价体系来为坤坤同学选择最佳的方案。

从上面居中的这段话中，很直接得就告诉我们这是一个评价类问题，那么我们不妨用刚刚学到的层次分析来解决这个问题。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

那么问题来了，对于第三个问题，题目没给相关数据支撑，比如哪里的空气好啊费用低呀... 需要我们查阅相关的资料。

一般而言，前两个问题的答案很容易得到，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

这个时候，我们就可以去知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献，这样一来，我们的论文也就有文献引用了，让我们的数据等看起来有理有据，显得专业，还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。

推荐一个据说很厉害的网站：虫部落快搜 - 搜索快人一步

那么现在，假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标：

接下来，要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定？

这就要用到我们最开始学的那张表了

但是，如果我们直接问坤坤：权重多少，城市ABC评分多少，会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数，他自己也记不清。)

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。

——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》

因此，我们采用分而治之的思想，先来处理权重吧~

问题：

解决方法：

简单来说就是我们这5个指标分别比较，比如我觉得：景色比花费更重要，饮食比交通非常重要... 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算，从而得到权值。

接下来，就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

我们绘制如下表格，其对角线肯定都为1：

问：景色和花费相比的重要程度？

坤：我认为景色比花费略重要，介于同等重要1和稍微重要3之间吧。

问：景色和居住相比的重要程度？

坤： 我认为景色比居住要重要一点，介于稍微重要3和明显重要5之间吧。

这样坤坤回答完10次(  )，填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了)：

注：实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的，具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填，在论文中不说怎么来的也行，后面会有获奖案例鉴赏。)

这样，我们所形成的正互反矩阵，就是层次分析法中的判断矩阵。

得到判断矩阵，我们就可以计算出权重了，方法后面再讲。 

同理，我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分)，因此需要再填5张表格，如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法：

其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。

注：一个可能出现问题的地方：

坤坤：我觉得x比y好，y比z好，z比x好或一样好。

如果把语气加重一些，谁比谁非常好，那么这种不一致的现象会更加严重。

此时，我们就要介绍一个东西：一致矩阵，用它来判断数据知否合理。

你看，上面这个矩阵就是一致矩阵。

比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4：

 令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2：

此外除了  一致矩阵还有个特点，就是行或列对应成比例。

我们引入一致矩阵，用来检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

引理：n阶正反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征是 ;

           且当正反矩阵A非一致时，

从上图我们可以发现，当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵，此时最大特征值最小，为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4，或a离4越来越远，不一致现象越明显，则其特征值也递增。

1. 计算一致性指标CI

2. 查下表找对应的平均随机一致性指标RI

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立 二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

3. 计算一致性比例CR

如果CR