如图（a）所示，新的顶点根据相邻点及自己的权重得到，n为相邻点数

p k + 1 = ( 1 − n β ) p k + ∑ i = 0 n − 1 β p i k   β = 5 8 − ( 3 8 + 1 4 c o s 2 π n ) 2 n p_{}^{k+1} = (1 - n\beta)p_{}^{k} + \sum_{i=0}^{n-1}\beta p_{i}^{k}\\ \ \\ \beta = \frac{\frac{5}{8} - (\frac{3}{8} + \frac{1}{4}cos\frac{2\pi}{n})^2}{n}\\ pk+1​=(1−nβ)pk​+i=0∑n−1​βpik​ β=n85​−(83​+41​cosn2π​)2​

p k , p i k p_{}^{k},p_{i}^{k} pk​,pik​是两个端点， p i − 1 k , p i + 1 k p_{i - 1}^{k},p_{i + 1}^{k} pi−1k​,pi+1k​是两个相对顶点，如图（b）所示

p i k + 1 = 3 8 ( p k + p i k ) + 1 8 ( p i − 1 k + p i + 1 k ) p_{i}^{k+1} = \frac{3}{8}(p_{}^{k} + p_{i}^{k}) + \frac{1}{8}(p_{i - 1}^{k} + p_{i + 1}^{k}) pik+1​=83​(pk​+pik​)+81​(pi−1k​+pi+1k​)

为了得到更均匀分布的三角形，每个原始三角形的边都被翻转，使之连接两个相邻中间顶点而不是连接两个已经存在的旧顶点

第一个式子为中间点的计算，第二个式子是三角形顶点的位置更新，第三个式子是 β \beta β的计算

p m i d d l e k + 1 = p a k + p b k + p c k 3   p k + 1 = ( 1 − n β ) p k + β ∑ i = 0 n − 1 p i k   β ( n ) = 4 − 2 c o s ( 2 π n ) 9 n p_{middle}^{k+1} = \frac{p_{a}^{k} + p_{b}^{k} + p_{c}^{k}}{3}\\ \ \\ p_{}^{k+1} = (1 - n\beta)p_{}^{k} + \beta \sum_{i=0}^{n-1} p_{i}^{k}\\ \ \\ \beta(n) = \frac{4 - 2cos(\frac{2\pi}{n})}{9n}\\ pmiddlek+1​=3pak​+pbk​+pck​​ pk+1​=(1−nβ)pk​+βi=0∑n−1​pik​ β(n)=9n4−2cos(n2π​)​

Approximating a given input mesh with a less complex but geometrically faithful representation

对于网格内部顶点v，记其周围相邻面片集为S，则该点的平坦性准则由下述的距离来描述：

d = ∣ N ⋅ ( v − C ) ∣   N = ∑ f ∈ S n ( f ) A ( f ) ∑ f ∈ S   C = ∑ f ∈ S c ( f ) A ( f ) ∑ f ∈ S d = |N\cdot(v - C)|\\ \ \\ N = \frac{\sum_{f\in S}^{} n(f) A(f)}{\sum_{f\in S}^{}}\\ \ \\ C = \frac{\sum_{f\in S}^{} c(f) A(f)}{\sum_{f\in S}^{}}\\ d=∣N⋅(v−C)∣ N=∑f∈S​∑f∈S​n(f)A(f)​ C=∑f∈S​∑f∈S​c(f)A(f)​ 这里A(f)，c(f)，n(f)分别为三角面片的面积、中心和法向量