计算机图形学、贝塞尔曲线及绘制方法、反走样问题的解决（附完整代码） |
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计算机图形学、贝塞尔曲线及绘制方法、反走样问题的解决（附完整代码）
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贝塞尔曲线
1. 本次作业实现的函数及简单描述（详细代码见后）2. 与本次作业有关的基础知识整理3. 代码描述（详细）4. 完整代码5. 参考文献
（本篇为作者学习计算机图形学时根据作业所撰写的笔记， 如有同课程请勿Crtl+c/v ） 1. 本次作业实现的函数及简单描述（详细代码见后）这一块主要介绍本次主要实现的几个函数及其功能 1.bezier(const std::vector &control_points, cv::Mat &window) 可以绘制不止四个点的贝塞尔函曲线，并且处理了反走样问题 升级版： 利用距离比例，进行像素点的判别，解决贝塞尔曲线的反走样问题 2.recursive_bezier(const std::vector &control_points, float t) 根据已有的点vector和给定的t值， 计算出来给定t值对应到贝塞尔曲线上的坐标点 2. 与本次作业有关的基础知识整理这一部分主要介绍一些跟贝塞尔曲线有关的前置知识，以及贝塞尔曲线的画法 贝塞尔曲线： Bézier curve(贝塞尔曲线) 是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 贝塞尔曲线基础定义： 只要求一定经过起止点，起止点之间的若干控制点用于控制曲线弯曲的方向，最终形成一条经过起止点的光滑曲线被称为贝塞尔曲线。 贝塞尔曲线是线性插值的结果 ： “选出两点之间的一个点” P(t) = P0 + (P1−P0) = (1−t)P0 + t**P1, t∈[0,1] t=P0P1/P0P1 根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一阶贝塞尔曲线（0个控制点）、二阶贝塞尔曲线（1个控制点）、三阶贝塞尔曲线（2个控制点）等等。（本次实验用到的是三阶贝塞尔曲线（2个控制点）） 二阶贝塞尔曲线：
三阶贝塞尔曲线（本次作业需要实现的曲线）
对于贝塞尔曲线，最重要的点是数据点和控制点 数据点： 指一条路径的起始点和终止点。 控制点：控制点决定了一条路径的弯曲轨迹 贝塞尔曲线特点： 特点一： 曲线通过始点和终点，并与特征多边形首末两边相切于始点和终点，中间点将曲线拉向自己。 特点二： 平面离散点控制曲线的形状，改变一个离散点的坐标，曲线的形状将随之改变（点对曲线具有整体控制性）。 特点三： 曲线落在特征多边形的凸包之内，它比特征多边形更趋于光滑。 特点四： 起始点的方向为响应控制点的切线方向 逐段贝塞尔曲线： 当控制点太多会影响控制点的效果的时候， 我们选择每四个控制点定义一条贝塞尔曲线，然后再将他们连接起来
常见应用场景： 计算机辅助设计和计算机辅助制造应用（CAD/CAM），Adobe Illustrator, Photoshop, Inkscape, Gimp等等。还可以应用在一些图形技术中，像矢量图形（SVG），所以说在可视化学习的重要基础知识。 基本绘制方法： 德卡斯特里奥算法 引入参数t (范围为 0~1)取b0到b1, b1到b2上t位置上的点b0’,b1’将b0’,b1’ 连接，取b0’到b1’上t位置上的点b0’’将所有t∈（0，1） 的点都便利一遍相连即可得到贝塞尔曲线若有n个控制点则将上面步骤进行递归操作直到找到最后bn’解决反走样问题 程序在进行画线时是以点的形式，如果放大有较为明显的不连续，因此可以采用反走样来使其平滑过渡; 对于每一个点，其必然会包含在一个像素之中，可按照比例和着色进行插值，以求得一个较为平滑的过渡; 如下图所示，该点一定会在下图所示的黄色方框内部，而该点离像素点的最远距离为根号2，按照该点到其他四个点的距离进行插值； 这一部分主要介绍实现贝塞尔曲线的各个函数的功能，以及注意要点 de Casteljau的算法来计算贝塞尔曲线的点（步骤如下） 计算点的总个数判断点的个数，只有一个点直接返回，多个点的话进行计算递归计算多个点t值对应的贝塞尔曲线上的点，直到计算到最后一个点 cv::Point2f recursive_bezier(const std::vector &control_points, float t) { // TODO: Implement de Casteljau's algorithm int n = control_points.size(); if (n == 1) return control_points[0]; std::vector res_control_points; for (int i = 0; i // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's // recursive Bezier algorithm. for (double t = 0.0; t // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's // recursive Bezier algorithm. for (float t = 0.0; t point_1,point_2,point_3,point_4 }; float MaxDistance = sqrt(2.0); float SumDistance = 0.0f; float pi_distance = 0.0f; std::vector distance_List = {}; window.at(point.y, point.x)[1] = 255;//Mat.at(行，列)[通道] for (int i = 0; i float d = distance_List[i] / SumDistance; // d是距离比例系数 window.at(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] = std::min(255.f, window.at(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] + 255.f * d); //不超过255.f，要进行最小值比较 } } } 4. 完整代码 #include #include #include std::vector control_points; void mouse_handler(int event, int x, int y, int flags, void *userdata) { if (event == cv::EVENT_LBUTTONDOWN) { std::cout auto point = std::pow(1 - t, 3) * p_0 + 3 * t * std::pow(1 - t, 2) * p_1 + 3 * std::pow(t, 2) * (1 - t) * p_2 + std::pow(t, 3) * p_3; window.at(point.y, point.x)[2] = 255; } } cv::Point2f recursive_bezier(const std::vector &control_points, float t) { // TODO: Implement de Casteljau's algorithm int n = control_points.size(); if (n == 1) return control_points[0]; std::vector res_control_points; for (int i = 0; i // TODO: Iterate through all t = 0 to t = 1 with small steps, and call de Casteljau's // recursive Bezier algorithm. for (float t = 0.0; t point_1,point_2,point_3,point_4 }; float MaxDistance = sqrt(2.0); float SumDistance = 0.0f; float pi_distance = 0.0f; std::vector distance_List = {}; window.at(point.y, point.x)[1] = 255;//Mat.at(行，列)[通道] for (int i = 0; i float d = distance_List[i] / SumDistance; // d是距离比例系数 window.at(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] = std::min(255.f, window.at(distance_dot[i].y, distance_dot[i].x)[1] + 255.f * d); //不超过255.f，要进行最小值比较 } } } int main() { cv::Mat window = cv::Mat(700, 700, CV_8UC3, cv::Scalar(0)); cv::cvtColor(window, window, cv::COLOR_BGR2RGB); cv::namedWindow("Bezier Curve", cv::WINDOW_AUTOSIZE); cv::setMouseCallback("Bezier Curve", mouse_handler, nullptr); int key = -1; while (key != 27) { window.setTo(0); for (auto &point : control_points) { cv::circle(window, point, 3, {255, 255, 255}, 3); } if (control_points.size() >= 4) { naive_bezier(control_points, window); // 所有点的绘制的贝塞尔曲线用绿色表示 bezier(control_points, window); // 前四个点绘制的贝塞尔曲线用红色显示 cv::imshow("Bezier Curve", window); cv::imwrite("my_bezier_curve.png", window); key = cv::waitKey(1); } cv::imshow("Bezier Curve", window); key = cv::waitKey(20); } return 0; } 5. 参考文献1. 贝塞尔曲线 2. opencv 处理鼠标事件的方法 3. 贝塞尔曲线简单介绍 4. 解决反走样问题 |
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