函数基本要素：定义域和对应法则；即：二者确定一个函数，只要相同，就可以认定为同一个函数。

函数类型中注意：分段函数、反函数、初等函数中的三角函数与反三角函数。

(1).分段函数： [x] 为取整函数，取该数的整数部分，即向下取整。

(2).反函数：一是求解反函数，二是反函数性质：单调函数一定有反函数，但是有反函数的不一定为单调函数：

(3).三角函数：

二倍角公式： \quad\sin2x=2\sin x \cdot\cos x \\ \quad\cos 2x= 2\cos ^2x-1\\ \quad\cos 2x=1-2\sin ^2x\\

关系式：

\sin^2x+\cos^2x=1\\ \tan^2x+1=\sec^2x\\ \cot^2x+1=\csc^2x\\ 2.函数的性质(1).奇偶性：

1.1奇函数关于原点对称，如果在原点处有定义则为0

1.2奇函数的代数和为奇函数，偶函数代数和为偶函数

1.3奇函数与偶函数的代数积为奇函

1.4偶数个奇函数之积为偶函数，奇数个为奇函数

(2).周期性：两个周期函数的最小正周期为二者的最小公倍数。

(1).极限的性质：

1.1 唯一性：收敛数列的极限是唯一的。

1.2有界性：收敛数列必有界。有界不一定收敛；无界一定发散，发散不一定无界。

1.3保号性： 若 \underset{n \rightarrow0}{\lim}x_n=a,a>0(aN,一定有x_n>0(x_nN,都有x_n\ge0(x_n\le0), \underset{n \rightarrow0}{\lim}x_n=a,a\ge0,(a\le0).\\ (2)左右极限分开求的三种情况：

2.1 左右表达式不一致（分段函数和绝对值计算）

2.2 e^{\infty}形式，e^{+\infty}=+\infty;e^{-\infty}=0 .

2.3 \arctan\infty形式，\arctan +\infty=\frac{\pi}{2};\arctan -\infty=-\frac{\pi}{2} .

(3)极限与连续：

3.1函数在某一点连续的充要条件： \underset{x\rightarrow x_0^+}{\lim}f(x)= \underset{x\rightarrow x_0^-}{\lim}f(x)=f(x_0)

3.2若函数 f(x)在(a,b)内连续：

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{cl} \underset{x\rightarrow a^+}{\lim}f(x), \underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x) 都存在& 函数f(x)在(a,b)内有界 \\ \underset{x\rightarrow a^+}{\lim}f(x), \underset{x\rightarrow b^-}{\lim}f(x) 有一个不存在& 函数f(x)在(a,b)内无界\\ \end{array} \right. \end{equation}\\

(4)无穷大量与无穷小量

4.1 无穷小的性质：

有限个无穷小的和、积都是无穷小；无穷小与有界量之积也为无穷小；两个无穷小的商不一定是无穷小。

4.2无穷大的性质

无穷大一定无界，无界不一定无穷大。

(5)求极限： 5.1 \ 倒代换\\ 5.2 \ 定积分定义：\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{i=n}f(\frac{i}{n})=\int_0^1f(x)dx\\ 5.3 \ 洛必达法则：\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}\\ 5.4 \ 斯特林公式：n\rightarrow\infty时，n!=\sqrt{(2\pi n)}(\frac{n}{e})^n\\ 5.5 \ stolz公式： 对于\{a_n\}和\{b_n\}，若\{b_n\}递增且趋近于∞，则有\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\frac{\{a_n\}}{\{b_n\}}= \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\frac{\{a_n\}-\{a_{n-1}\}}{\{b_n\}-\{b_{n-1}\}}\\ 5.6 \ 泰勒展开：\begin{equation}\left\{ \begin{array}{cl} e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^n}{n!}\\ \sin x= x-\frac{x^3}{3!}+\cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^{(2n-1)}}{(2n-1)!}&\\ \arcsin x= x+\frac{x^3}{3!}+\cdots &\\ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\cdots\\ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\cdots\\ \cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots + (-1)^{n}\frac{x^{(2n)}}{(2n)!}\\ \ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots\\ (x+1)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2!}+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)) x^n}{n!} \end{array} \right. \end{equation}\\ 5.7\ 夹逼定理\\ 5.8\ 拉格朗日中值定理

(1)初等函数在定义区间内都是连续的

(2)间断点的分类： \begin{equation} \left\{ \begin{array}{cl} 可去间断点：&\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)=\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)\neq f(x)\\ 跳跃间断点：&\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x) \neq \underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)\neq f(x)\\ 无穷间断点：&\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)和\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x) 至少有一个为无穷\\ 振荡间断点：&\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)和\underset{x\rightarrow a^-}{\lim}f(x)震荡不确定；例如\underset{x\rightarrow 0}\lim\sin(\frac{1}{x})\\ \end{array} \right. \end{equation}

(3)连续区间内的定理：介值定理、零点定理、最值定理。