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2024-07-11 13:01| 来源: 网络整理| 查看: 265

用matlab方法求解常微分方程欧拉法

对于一阶常微分方程

$\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$

对应的改进的欧拉公式为

$\begin{cases}y_p=y_n+hf(x_n,y_n)\\y_q=y_n+hf(x_n+h,y_p)\\y_{n+1}=\dfrac{1}{2}(y_p+y_q)\end{cases}$

对应的matlab代码为

function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n) %检查是否有足够的输入参数值传入函数。 %如果输入参数的数量小于 5，说明用户没有提供 n 的值， %那么将默认将 n 设置为 50。 if nargin> dsolve('Dy=3*x^2','x') ans = x^3 + C2 >> dsolve('Dy=3*x^2','y(0)=2','x') ans = x^3 + 2 ode函数（ode23,ode45,ode113使用方法）符号介绍

D：微分符号；D2：二阶微分；D3：三阶微分

上文中的dsolve函数存在大量常微分方程。从理论上讲，解是存在的但无法求出解析解（就i是一些严格的公式）。因此，但现在要寻求数值解（利用有限元或插值等方法求得的近似解）。

《数值分析》

例如求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=3x^2.$ 可以转化为 $\frac{y(n)-y(n-1)}{dt}=3t^{2}$ .即 $y(n)=y(n-1)+3t^{2}*dt$ .就可以用迭代的方式求解y。dt看作是步长。

ode是matlab专门用于求解微分方程的功能函数。该求解器有变步长和定步长两种类型。

ode45

4、5阶R-K方程首选，没用的话换ode15sode232、3阶R-K方程精度较差ode113多部算法计算时间短

下面以ode45为例介绍用法函数格式

[T,Y]=ode45('odefun',tspan,y0)

[T,Y]=ode45('odefun',tspan,y0,options)

[T,Y,TE,YE,IE]=ode45('odefun',tspan,y0)

sol=ode45('odefun',[t0 tf],y0...)

其中：

ode是函数句柄，函数文件名，匿名函数句柄，内联函数名

tspan是求解区间[t0 tf]

y0是初始值向量

T是返回列向量的时间点

Y是对应T的求解列向量

options是求解参数设置

TE 事件发生事件

YE 事件发生时的答案

IE事件函数消失时的指针i

例题：

$y^{\prime}=-2y+2x^{2}+2x,\left(0\leq x\leq0.5\right),y(0)=1$

function f=doty(x,y) f=-2*y+2*x^2+2*x; %%命令行窗口输入 [x,y]=ode45('doty',0,0.5,1)

微分方程标准化

利用ode45求解高阶微风方程时，需要做变量替换。

微分方程为 $F(y,y',y'',...,y^{(n)},t)=0$

初始条件 $y(t_{0})=c_{0},y^{\prime}(t_{0})=c_{1},...,y^{(n-1)}(t_{0})=c_{n-1}$

首先做变量替换 $x(1)=y,x(2)=y',x(3)=y'',...,x(n)=y^{(n-1)}.$

原微分方程可以转换为下面的微分方程组格式：

$\begin{cases}d\text{x}(1)=x(2)\\d\text{x}(2)=x(3)\\......\\d\text{x}(n-1)=x(n)=f(t,x(n-1),...x(2),x(1))\end{cases}$

下面就可以利用转化好的微分方程组来编写odefun函数

例题：求解常微分 $y^{\prime\prime}=-ty+e^{t}y^{\prime}+3\sin2t$ 。

先编写odefun函数：

令 $x(1)=y,x(2)=y\prime$

则微分方程可以转换为：

$\begin{aligned}dx(1)&=y'=x(2)\\dx(2)&=y''=-t^*x(1)+\exp(t)*x(2)+3*\sin(2*t)\end{aligned}.$

function dx=odefun(t,x) dx=zeros(2,1); %初始化dx dx(1)=x(2); dx(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)*sin(2*t); end 例题：

在区间[3,9,4]内求解常微分方程

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