题目： 已知一个周期性矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周期的采样点为16点。用傅里叶级数求信号的幅度和相位频谱；求傅里叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行比较。 问题分析： 经过采样之后，原来的信号变成了离散信号，时域周期造成了频域离散。所以对应的就是离散傅里叶级数。 公式： DFS X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N k n X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} X[k]=n=0∑N−1​x[n]e−jN2π​kn IDFS x [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] e j 2 π N k n x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} x[n]=N1​k=0∑N−1​X[k]ejN2π​kn MATLAB里面只有计算快速傅里叶变换的函数fft()。所以这里我们需要自己创建函数文件，进行DFS和IDFS运算。 函数文件：

注意：在任何使用到矩阵的运算的时候都要注意点乘以及点方 和 乘和乘方的区别，一个是矩阵运算，一个是代数运算。

这段 MATLAB 代码实现了基于矩阵计算的离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS），将离散时间序列 x [ n ] x[n] x[n] 转换为频域上的序列 X [ k ] X[k] X[k]。

其中，输入参数 x n xn xn 表示离散时间序列， N N N 表示序列的长度。函数的输出结果 x k xk xk 表示对应的离散傅里叶级数系数。

代码中，首先生成了两个行向量 n n n 和 k k k，分别表示时域上的时间点和频域上的频率。接着，计算了离散傅里叶变换中需要用到的 WN 因子，以及矩阵 n k nk nk，它是一个 N × N N\times N N×N 的矩阵，其中第 i i i 行第 j j j 列的元素 n k i , j nk_{i,j} nki,j​ 表示 n i ⋅ k j n_i \cdot k_j ni​⋅kj​ 的值。

接下来，计算了 DFS 矩阵 W N n k WNnk WNnk，它也是一个 N × N N\times N N×N 的矩阵，其中第 i i i 行第 j j j 列的元素 W N n k i , j WNnk_{i,j} WNnki,j​ 表示 W N n i ⋅ k j WN^{n_i\cdot k_j} WNni​⋅kj​ 的值。最后，用离散时间序列 x [ n ] x[n] x[n] 与 DFS 矩阵 W N n k WNnk WNnk 相乘，得到了离散傅里叶级数系数 X [ k ] X[k] X[k]。 同理，也可以创建IDFS的函数文件。

脚本文件：

运行结果： 题目2： 已知一个信号序列的主值为 x ( n ) = [ 0 , 1 , 2 , 3 , 2 , 1 , 0 ] x(n)=[0,1,2,3,2,1,0] x(n)=[0,1,2,3,2,1,0],显示两个周期的信号序列波形。 用傅里叶级数求信号的幅度和相位频谱；求傅里叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行比较。 程序基本和上面一致，这里要注意的是，就是N的取值N=length（xn）。 代码：

运行结果： 题目3： 周期重复次数对序列的频谱影响 已知一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一个周期的采样点数为10，用傅立叶级数变换求信号的重复周期数分别为1、4、7、10时的幅度频谱。 完整代码及其解释：

重点解释： （1）k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); 这段代码是定义一个长度为Nw的频域上的k值数组，使得k数组中心对应的频率为0，即k中心在0。具体解释如下： Nw是DFT的点数，表示离散的频率轴上有Nw个点。通常情况下，Nw是2的幂次方，如Nw=256，512等。 dw是频率轴上两个相邻频率点之间的间隔，它的值可以通过2π/Nw计算得到。 (-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)是一个长度为Nw+1的数组，包含了从-Nw/2+0.5到Nw/2+0.5的所有整数。其中0.5是为了使得k数组中心对应的频率为0，即把k轴坐标从整数值偏移0.5。 floor是一个向下取整函数，用于把k数组中的浮点数向下取整为最接近它的整数。这是为了保证k数组中的所有值都是整数，便于后续计算和绘图。中心频率设为0是为了方便表示信号在频域上的对称性，即实部和虚部分别对称。此外，因为DFT是一个离散变换，频率轴上的点数有限，因此我们需要从有限的采样点中尽可能精确地表示信号的频率成分，以尽可能减小采样误差。因此，频率轴上的采样点需要尽可能密集地分布。但是，在DFT中，频率轴上的点数是有限的，而且通常是2的幂次方，因此无法实现完美的采样，即无法把频率轴分得足够密集，从而会产生离散化误差。因此，为了最小化采样误差，通常会在频率轴上加入一个偏移量0.5，使得采样点的中心落在整数点上，这样可以尽可能减小离散化误差。此外，加上偏移量0.5还有一个好处，就是可以把频率轴上的采样点对应到时域上的采样点，这样可以更直观地理解DFT的计算过程和结果。因此，k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5))的作用是定义了一个从-Nw/2到Nw/2的整数序列，其中序列中心对应的频率为0，以便于计算DFT的频率分量。

（2）x=xn(mod(nx,Nx)+1); 这行代码的作用是生成一个周期性的信号，其周期为xn，长度为KNx，其中K是一个常数，nx是一个从0到KNx-1的整数序列。 具体来说，mod(nx,Nx)的作用是把nx中的所有元素对Nx取模，这样得到的结果是一个长度为KNx的整数序列，每Nx个元素是一组，组内元素相同。例如，如果Nx=5，K=3，那么mod(nx,Nx)的结果是[0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4]。 因为xn是一个长度为Nx的向量，所以mod(nx,Nx)得到的整数序列可以作为xn的索引，即mod(nx,Nx)+1表示从xn中取出相应的值。因为MATLAB中的向量是从1开始的，所以需要在索引中加上1。 这样，x=xn(mod(nx,Nx)+1)就得到了一个长度为KNx的周期性信号，其周期为xn，它是通过xn不断重复K次得到的。这种构造方式常用于分析周期性信号的性质。 总之，mod的作用是将nx的取值限定在Nx以内，从而实现对xn向量的循环使用。 运行结果： 结果分析： 信号序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当信号周期数趋近于无穷大时，频谱转化为离散谱。