用Mathematica解两个圆柱面相贯的交线及其投影的问题 |
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用Mathematica解两个圆柱面相贯的交线及其投影的问题
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典型的用符号计算可以得到解析解的多项式方程组问题。难度级别低。
首先，画出这两个圆柱面（猜猜它们各自的方程）： ParametricPlot3D[{{10 Cos[u], 10 Sin[u], v}, {-(v/2) + 10 Sqrt[3] Cos[u], 20 Sin[u], (Sqrt[3] v)/2 + 10 Cos[u]}}, {u, 0 , 2 Pi}, {v, -80, 80}, PlotPoints -> 70, PlotTheme -> "Classic", Mesh -> None]
其次，求解相贯线对应的参数方程：
Solve[{x^2 + y^2 == 100, (Sqrt[3] x + z)^2 + 4 y^2 == 1600}, {x,
y}] // Simplify
第三，画出相贯线 ParametricPlot3D[{{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z}},{z,-80,80}]
第四，这个是对相贯线再作投影要用的：
(IdentityMatrix[4] -
Transpose[{{1, 0, 1, 0}}].{{1, 0, 1,
0}}/({{1, 0, 1, 0}}.Transpose[{{1, 0, 1, 0}}])[[1, 1]])[[1 ;;
3, 1 ;; 3]] // MatrixForm
最后，直接对相贯线投影的参数方程绘图 ParametricPlot3D[{{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z}}.{{1/2,0,-(1/2)},{0,1,0},{-(1/2),0,1/2}},{z,-80,80},PlotStyle->Red]
好吧，把空间曲线再放到平面上（在它们投影面上建立一个平面坐标系）：
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[参考的是高中生家教市场价]
）
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