矩阵的零空间

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矩阵的零空间

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求某欠定方程组的一个特定解,然后获得所有解的通用形式。

欠定线性方程组 Ax=b 包含的未知数比方程多。欠定方程组可以有无限多个解或没有解。当方程组有无限多个解时,它们都位于一条直线上。该线上的各点均通过零空间向量的线性组合获得。

创建一个 2×4 系数矩阵并使用反斜杠求解方程 Ax0=b,其中 b 是由 1 组成的向量。用反斜杠计算问题的最小二乘解。

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]A = 2×4 1 8 15 67 7 14 16 3 b = ones(2,1); x0 = A\bx0 = 4×1 0 0 0.0623 0.0010

欠定方程组的完全通解具有 x=x0+Ny 形式,其中:

N 是 A 的零空间。

y 是合适长度的任何向量。

x0 是用反斜杠计算的解。

计算 A 的零空间,然后使用结果来构造方程组的另一个解。检查新解是否在舍入误差内满足 Ax=b。

N = null(A)N = 4×2 -0.2977 -0.8970 -0.6397 0.4397 0.7044 0.0157 -0.0769 -0.0426 x = x0 + N*[1; -2]x = 4×1 1.4963 -1.5192 0.7354 0.0093 norm(A*x-b)ans = 1.8510e-14


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