今天我们要说的就是线性方程组应用举例，本文是《科学计算与MATLAB语言》专题六第3小节的学习笔记，如果大家有时间的话，可以去听听课，没有的话，可以看看我的笔记，还是很不错的。

桁架是工程中常用的一种结构，各构件在同一平面内的桁架称为平面桁架。一个平面桁架结构由连接于A、B、C、D、E、F、G、H共8个结点的13根杆件构成。在结点B、E和G上施加指定载荷，求桁架每根杆件上的轴力。 对于静态平衡的衍架而言，它的各个结点也一定是平衡的，即在任何结点上水平方向或垂直方向受力之和都必须为零。因此，可以对每一个结点列出两个独立的平衡方程，从而可求出杆件的轴力。对于8个结点，可以列出16个方程，方程数多于待定的13个未知量。为使该衍架静定，即为使问题存在唯一解，我们假定： 1.结点A在水平和垂直方向上刚性固定 2.结点H仅在垂直方向刚性固定。 以结点E为例，其受力如图所示。

写出平衡方程，有： 水平方向： f 5 c o s 45 ° + f 6 = f 9 c o s 45 ° + f 10 f_5cos45°+f_6=f_9cos45°+f_{10} f5​cos45°+f6​=f9​cos45°+f10​ 垂直方向： f 5 s i n 45 ° + f 7 + f 9 s i n 45 ° = 15 f_5sin45°+f_7+f_9sin45°=15 f5​sin45°+f7​+f9​sin45°=15 定义参数 a = 2 / 2 a=\sqrt{2}/2 a=2 ​/2， 则可得到E点的平衡方程。 { a f 5 + f 6 = a f 9 + f 10 a f 5 + f 7 + a f 9 = 15 \left\{ \begin{aligned} af_5+f_6&=a f_9+f_{10}\\ a f_5+f_7+af_9&=15 \end{aligned} \right. {af5​+f6​af5​+f7​+af9​​=af9​+f10​=15​ 结点B: { f 2 = f 6 f 3 = 10 \left\{ \begin{aligned} f_2=f_6\\ f_3=10 \end{aligned} \right. {f2​=f6​f3​=10​ 结点C: { a f 1 = f 4 + a f 5 a f 1 + f 3 + a f 5 = 0 \left\{ \begin{aligned} af_1&=f_4+af_5\\ af_1+f_3+af_5&=0 \end{aligned} \right. {af1​af1​+f3​+af5​​=f4​+af5​=0​ 结点D: { f 4 = f 8 f 7 = 0 \left\{ \begin{aligned} f_4&=f_8\\ f_7&=0 \end{aligned} \right. {f4​f7​​=f8​=0​ 结点E: { a f 5 + f 6 = a f 9 + f 10 a f 5 + f 7 + a f 9 = 15 \left\{ \begin{aligned} af_5+f_6&=af_9+f_{10}\\ af_5+f_7+af_9&=15 \end{aligned} \right. {af5​+f6​af5​+f7​+af9​​=af9​+f10​=15​ 结点F: { f 10 = f 13 f 11 = 20 \left\{ \begin{aligned} f_{10}&=f_{13}\\ f_{11}&=20 \end{aligned} \right. {f10​f11​​=f13​=20​ 结点G: { f 8 + a f 9 = a f 12 a f 9 + f 11 + a f 12 = 0 \left\{ \begin{aligned} f_8+af_9&=af_{12}\\ af_9+f_{11}+af_{12}&=0 \end{aligned} \right. {f8​+af9​af9​+f11​+af12​​=af12​=0​ 结点H: f 13 + a f 12 = 0 f_{13}+af_{12}=0 f13​+af12​=0 结点H在垂直方向刚性固定，只有水平方向平衡方程。 这是一个包含13个未知数的线性方程组，利用MATLAB很容易求出杆件轴力向量f。

桁架杆件主要承受轴向拉力或压力，当杆件受拉时，轴力为拉力，其指向背离截面；当杆件受压时，轴力为压力，其指向指向截面。答案中的正数表示拉力，负数表示压力。

现在已经在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，测得轨道上的5个点的坐标数据如表所示，其单位为天文测量单位。试确定小行星的轨道方程。

（1）模型分析 由开普勒第一定律知，小行星运行轨道为椭圆方程： a 1 x 2 + 2 a 2 x y + a 3 y 2 + 2 a 4 x + 2 a 5 y + 1 = 0 a_1x^2+2a_2xy+a_3y^2+2a_4x+2a_5y+1=0 a1​x2+2a2​xy+a3​y2+2a4​x+2a5​y+1=0 需要确定系数 a i （ i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ） 。 a_i（i=1，2，3，4，5）。 ai​（i=1，2，3，4，5）。 利用已知的数据，不妨设测得的5个点坐标为 （ x i ， y i ） （ i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ） ， （x_i，y_i）（i=1，2，3，4，5）， （xi​，yi​）（i=1，2，3，4，5），确定系数 a i a_i ai​等价于求解下列线性方程组。 { a 1 x 1 2 + 2 a 2 x 1 y 1 + a 3 y 1 2 + 2 a 4 x 1 + 2 a 5 y 1 + 1 = 0 a 1 x 2 2 + 2 a 2 x 2 y 1 + a 3 y 2 2 + 2 a 4 x 2 + 2 a 5 y 2 + 1 = 0 a 1 x 3 2 + 2 a 2 x 3 y 1 + a 3 y 3 2 + 2 a 4 x 3 + 2 a 5 y 3 + 1 = 0 a 1 x 4 2 + 2 a 2 x 4 y 1 + a 3 y 4 2 + 2 a 4 x 4 + 2 a 5 y 4 + 1 = 0 a 1 x 5 2 + 2 a 2 x 5 y 1 + a 3 y 5 2 + 2 a 4 x 5 + 2 a 5 y 5 + 1 = 0 \left\{ \begin{aligned} a_1x_1^2+2a_2x_1y_1+a_3y_1^2+2a_4x_1+2a_5y_1+1=0\\ a_1x_2^2+2a_2x_2y_1+a_3y_2^2+2a_4x_2+2a_5y_2+1=0\\ a_1x_3^2+2a_2x_3y_1+a_3y_3^2+2a_4x_3+2a_5y_3+1=0\\ a_1x_4^2+2a_2x_4y_1+a_3y_4^2+2a_4x_4+2a_5y_4+1=0\\ a_1x_5^2+2a_2x_5y_1+a_3y_5^2+2a_4x_5+2a_5y_5+1=0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​a1​x12​+2a2​x1​y1​+a3​y12​+2a4​x1​+2a5​y1​+1=0a1​x22​+2a2​x2​y1​+a3​y22​+2a4​x2​+2a5​y2​+1=0a1​x32​+2a2​x3​y1​+a3​y32​+2a4​x3​+2a5​y3​+1=0a1​x42​+2a2​x4​y1​+a3​y42​+2a4​x4​+2a5​y4​+1=0a1​x52​+2a2​x5​y1​+a3​y52​+2a4​x5​+2a5​y5​+1=0​ 将方程改写为：

因此小行星的轨道方程为： 2.4645 x 2 − 0.8846 x y + 6.4917 y 2 − 1.3638 x − 7.2016 y + 1 = 0 2.4645x^2-0.8846xy+6.4917y^2-1.3638x-7.2016y+1=0 2.4645x2−0.8846xy+6.4917y2−1.3638x−7.2016y+1=0 绘制小行星运行轨道：

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