信号与系统MATLAB仿真 |
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信号与系统MATLAB仿真
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1. 知识回顾
（1）经典时域分析方法 线性时不变（LTI）系统是最常见最有用的一类系统，描述这类系统的输入-输出特性的是常系数线性微分方程。 \[\begin{array}{l}{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\{b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t)\end{array}\] 齐次解：${y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0$ 特征方程：\[{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}\lambda + {a_0} = 0\] 均为单根：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}} \] 有重根（$r$重根）：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}} \] 共轭复根（${\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta $）：\[{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)\] $r$重复根：\[{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)\]特解： $f(t) = {t^m}$ 所有的特征根均不等于0：\[{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}\] 有$r$重等于0的特征根：\[{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}]\] $f(t) = {e^{\alpha t}}$： $\alpha $不是特征根：\[{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\] $\alpha $是特征单根：\[{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\] $\alpha $是$r$重特征根：\[{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}}\] $f(t) = \cos \beta t$或$\sin \beta t$： 所有特征根均不等于$ \pm j\beta $：\[{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\] $ \pm j\beta $是特征单根：\[{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]\]全解：\[y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)\] （2）零输入响应与零状态响应 \[y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)\] （3）冲激响应和阶跃响应 \[\left\{ \begin{array}{l}\delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\\varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right.\] （4）卷积积分 \[y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau \] 系统的零状态响应：\[{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)\] 卷积积分的性质： 交换律 分配率 结合律任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本身：\[f(t) * \delta (t) = f(t)\] 2. 利用MATLAB求LTI连续系统的响应LTI连续系统以常微分方程描述，如果系统的输入信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。在MATLAB中，控制系统工具箱提供了函数lsim()，能对微分方程描述的LTI连续系统的响应进行仿真。该函数能够绘制连续系统在指定的任意时间范围内时域波形图，还能求出连续系统在指定的任意时间范围内响应的数值解。 lsim(b,a,x,t);a和b是描述系统的微分方程系数决定的表示该系统的两个行向量，x和t是表示输入信号的行向量（t表示输入信号的时间范围，x则表示在t定义的时间点上的输入取样值）。 $\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + 2\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}f\left( t \right) + 2f\left( t \right)$ $f\left( t \right) = 5{e^{ - 2t}}\varepsilon \left( t \right)$ 求零状态响应 a=[1,2,1]; b=[1,2]; p=0.01; t=0:p:5; f=5*exp(-2*t); lsim(b,a,f,t); ylabel('y(t)');
$2\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + 8y\left( t \right) = f\left( t \right)$ 求冲激响应和阶跃响应 b=1; a=[2,1,8]; subplot(1,2,1);impulse(b,a); subplot(1,2,2);step(b,a);
conv()函数本来是用来做多项式乘法的。 w = conv(u,v) w = conv(u,v,shape)$({x^2} + 1)(2x + 7) = 2{x^3} + 7{x^2} + 2x + 7$
shape： 'full'：完整的卷积(默认)； 'same'：与u相同大小的卷积的中心部分； 'valid'：只有那些计算卷积时没有在边缘填充0的部分。 |
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