首先很感谢各位的大力支持，能让本通识入门系列能出到第五章。 正如标题所见，本章主要讲述微分、积分运算和级数展开、级数求和。为何将这两个部分放在一起呢。因为考虑到matlab文章的受众大部分接受过高等教育。级数展开别名麦克劳林展开，这一部分在书本中和费马引理、罗尔中值定理和拉格朗日中值定理同时出现，是微分运算的重要理论体系。如此安排可以减小搜索和检索信息成本，一篇文章讲完，无需东拼西凑即可掌握如何使用matlab完成这些计算。 在进入本章学习之前，希望你有高等数学上册基础，且务必掌握第一章的内容。

在极限运算中调用函数limit，具体用法如下：

一般形式就是类似于这样的： 调用limit函数求一般形式极限的格式为：任意变量 = limiit(函数体，函数内的符号变量，逼近的值)，以对sinx/x求极限为例，代码块如图：

调用limit求单边极限的方式和求一般极限的方式基本相似，只不过在末尾加入了“left”或者"right"选项。单边极限的数学形式如图，代码方式见代码块(以(x-3)/|x-3|在3处的左右极限为例)：

导数的计算也很简单，调用的函数为diff。也分多种情况。

一般求导的方式遵从数学中常见的求导准则。调用具体格式为：要求的导数 = diff (原函数体, 函数体内的符号变量, n) ，n为求导的阶数(求几次导数)，当求一阶导时可省略，在这里以多项式3x^ 7+6x^ 3-2x^ 2为例，分别求1阶和2阶导：

思考 能实现这样的计算无疑对判断函数间断点或者极值有很大的意义。请你利用Ⅰ中多项式求导结果，在不动笔的前提下求出该函数的极值点和极值。再利用第三章中介绍的plot函数绘图验证。

思考完毕后再回到求导中来，在未指明阶数(譬如想要推n阶导时)，matlab显得不那么愿意输出结果：

我在尽力解决这一问题，明天会加以补充，看文章的老爷们不要心急。

对于多元函数的偏导数(定义为函数关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）)，自然会有不一样的求导结果，无非调用diff时加入嵌套，并且注意变量的位置。例如，我们要求 类似于这种形式的关于多元函数f(x,y)的偏导数，格式为变量=diff(diff (f, x, m), y, n) 或者 变量=diff(diff (f, y, n), x, m)。接下来引一道例题，f(x, y, z) = sin((x^ 2)y)e ^((-x ^2)y-z ^2)，求偏导(格式如下方所示)：

倘若还没学高数下，这一部分可以暂时先不了解。

首先要介绍微分方程和导数的内置表达，csdn不便输入数学语言，所以请看下方图片： 在指明自变量的情况下，函数格式为：r = dsolve(‘eq1’, ‘eq2’,┄, ‘cond1’, ‘cond2’,┄, ‘x’)。其中，eq1,eq2,┄为指定的常微分方程的符号解。常微分方程以变量 x 为自变量，参数’cond1’,‘cond2’,┄用于指定方程的边界条件或者初始条件。符号解如何理解呢，对于没学过线性代数或者这一部分的人来说可能比较陌生，其实算是这个方程的“通解”，当有cond输入时，通解才能成为唯一解，所以这些变量的输入都是必不可少的。 但是警告！！！！！！！！这种调用法在2022a版本中已经不可用，具体的计算方式请再往下看一看！！！ 之所以要贴出错误用法，就是让各位加深记忆，同时明白软件更迭了什么。 以Dy + a*y + x = 0 y(0) = 1为例展示dsolve函数的错误用法：

我们发现在传统算法下，matlab报错了，翻译过来就是，字符串形式的实参将来不受支持。所以我们需要自动调用上一章介绍的sumfun函数，让函数体本身也是符号形式，且对cond部分也用变量代替，彻底杜绝字符串，就不会报错了：

在不定积分运算中，调用函数 int。其函数格式为：F=int(f, x)。其中，F 为积分出来的原函数，若被积函数 f 中只有一个变量，则 x 可省略。有趣的是，在生成原函数的时候，matlab不会补齐常数项，譬如我对1/(1+x^2)求积分：

正如第一章所说，matlab中的反三角函数只有a前缀，并不是arc。

在定积分运算中，仍要调用函数 int，函数格式为：F=int(f, x, a, b)。其中，a 和 b 分别为积分的下限和上限(千万不要混)。在求解无穷积分时，允许将 a、b 设定为–inf 或 inf(负无穷和正无穷)。若定积分得出的结果不是确切的数值，还可以 vpa()函数求出定积分的解，vpa函数用法很多，在此不展开叙述，学会使用这一种即可，以x^2 * cosx在-6到6的定积分和e ^(-x ^2)sinx在0到inf的变上限积分为例：

新出现的erf又是什么鬼？它也是函数，但是在统计中使用居多，尤其是正态分布，给它的伪装卸下来，你就豁然开朗了(高中学过，如果不开朗也没关系，下章预告：统计和拟合)：

多重积分的计算由嵌套int来实现，并没有什么特别的，有几重就套几重，以一个三重不定积分为例：

有不定就有定，一样的道理，以一个二重定积分为例：

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。譬如高等数学教材明确表示过sinx/x的不定积分无法直接求出，此时用这种近似逼近的方法求对应的定积分非常合适。

数值逼近有多种算法，常见的是梯形法和辛普森法。

使用梯形法近似计算定积分的函数格式为：F=trapz(x, y)。其中，x 可以为行向量或者列向量，y 的行数应该等于 x 向量的元素数。该函数需要在 x 和 y 建立起向量，即对积分空间[a,b]进行分割的基础上执行。梯形法的具体原理让我们看看官方文档：

有人可能要问了，为什么不用符号变量，因为这是求取定积分，我们需要对x的范围做限制，且作为估计的逼近方式，使用linspace生成向量的不连续度并不会对结果产生太大影响，我们现在就对下面这个式子做梯形法估计：

使用辛普森方法近似计算定积分的函数格式为：F=intergral(f, a, b)。其中，f 用于描述被积函数，需要注意的是，这里的f需要为函数句柄，如何理解？对于初学者而言先不必了解，知道其格式为f = @(自变量) 函数 即可。a和 b分别为积分上限和下限。(如果你的版本真的很老，甚至早于2016a，调用函数为quad)。 intergral函数用法非常杂，在此仅介绍如何用它来逼近定积分，还是用上面那个例子：

可以看到二者逼近的值一模一样，那是否和真实值一样呢？

误差很小，可以拿来放心使用。

使用梯形方法对定积分的值进行逼近时，我们是用linspace来定义x的，倘若我们再缩小步距，让梯形更密集，让梯形的斜边更加拟合曲线，能得到更加准确的值吗？

为什么没有更加精确呢，并不是咱们想的有问题，而是matlab显示小数点后几位数的问题。现在点击最上方窗口第五部分的预设-命令行窗口-文本显示-数值格式-从short换成long，这下试试，就截然不同了：

步距大时和精确值相差-7.052735334134308e-06，步距变小时和精确值相差-1.665334536937735e-16。精确度完全不在一个数量级上。可见减小步距对精度影响虽然微小，但也是有的。

泰勒展开，麦克劳林展开式的高等数学内容，详见本站文章【浅谈泰勒公式与麦克劳林公式】https://blog.csdn.net/tonglin12138/article/details/106038316

本部分主要讲如何用函数快速生成麦克劳林展开式，以sinx为例，直接调用taylor函数：

我们也可以规定展开几阶。补充order选项即可。但是要注意，你想要的阶数永远比你输入的数字小1。

我们还可以规定在哪个点展开，补充ExpansionPoint选项即可，第三点和第二点可以混合使用，譬如，让自然指数在x = 2处展开，并且要求7阶。看图即可掌握格式：

级数求和部分待补充，鄙人欠缺较多知识点。明日学完再来补充。

本章到此结束。如有问题，请及时联系我。

2024.2.17首次发布。 2024.2.18修改了一处排版错误。