尝试不用严谨的数学推导，而用相对直观的角度来说明。

对于任何一个 m*n 的矩阵A，都可以使用用奇异值分解：

A = U ΣV^T

其中：

U和V均为正交矩阵，可以看作旋转矩阵

Σ为对角矩阵，可以看作伸缩矩阵

也就是说，对于矩阵A，如果其作用于向量x （Ax），根据奇异值分解，Ax = (UΣV^T)x，其本质就是将向量x先使用V^T矩阵进行旋转（变基），再使用Σ进行伸缩（Σ这个对角矩阵上的各个值称为奇异值，也就是在各个基向量方向上伸缩的幅度），最后使用U矩阵“旋转回去”。

理解了这个过程，可以直观上看到，当矩阵A作用于向量x时，主要是各个奇异值的大小决定了结果的“扰动情况”。如果某个奇异值很大，那么在对应的方向上，如果x稍微变化一点点，则结果在对应的方向上会放大很多。如果某个奇异值很小（接近0），那么在对应的方向上，如果x稍微变化一点点，则结果在对应的方向上会缩小很多。

所谓条件数就是衡量最大奇异值和最小奇异值之比的。比较理想的情况是最大奇异值和最小奇异值的比接近1，也就是差不多大小，这样在各个方向上，x的微小变换，对Ax结果的影响也不会很大。这个特性对于机器学习非常有用，因为我们的样本往往还有微小的噪声，如果因为微小的噪声导致我们的模型差别很大，那么这个模型就是不可靠的。

以上说明比较粗暴，可能有细节不严谨的地方，目的是帮助直观上理解条件数，严格推理还需要数学证明。

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