Matlab做函数的最佳平方逼近

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Matlab做函数的最佳平方逼近

2024-01-31 02:16| 来源: 网络整理| 查看: 265

原题是

分析：f（x）=exp（x），权函数没说默认为1，基也给考虑用1,x^2，x^3,x^4……来进行拟合。区间范围有三个。得的逼近函数为S（x）。

且S（x)=： $a_{0}\times 1+a_{1}\times x+a_{2}\times x^{2}+a_{3}\times x^{3} +a_{4}\times x^{4}$

因此问题就转化到了对多项式系数a的求解上。

介绍正则表达式：G*a=d

其中G：

G中的参数 $\varphi _{0}=1 \varphi _{1}=x \varphi _{2}=x^{2} \varphi _{3}=x^{3} \varphi _{4}=x^{4}$ ,是从基空间中选取的

（ $\varphi _{i}$ ， $\varphi _{j}$ ））表示的是 $\varphi _{i}$ ， $\varphi _{j}$ 的内积。

计算方法为 $\varphi _{i}$ ， $\varphi _{j}$ 的乘积再乘上权函数w（x）（这里为1）作为被积函数，以x为积分变量，在区间（a,b）上的积分值

关于d

关于a：

其实就是方程组：

我们需要做的就是把G矩阵的逆求出来，然后d左乘上G的逆矩阵就得到系数矩阵a。（这些在matlab上都是比较好实现的）

对于在matlab的实现部分，先介绍2个需要用到的函数：

int(f,x,m,n)函数

可以帮助我们实现积分的计算，有四个参数，f是指被积函数，x是指积分变量，m、n分别代表了积分区间的下限和上限。例如 int（1,s,0,1）即为在0到1上对1积分的值

>> int(1,x,0,1) ans = 1

Taylor函数：

帮助我们快速的求f（x）的泰勒展开式；taylor函数的使用格式不唯一，下面介绍一种用于实验。

>> syms x >> f= exp(x); >> taylor(f,x,'order',5) ans = x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

上面的意思为求f（x）以x为变量的泰勒展开式的前五项（4阶）。

下面实现部分：

首先定义几个符号变量，以及上下限。

syms x m n m=[-0.1,-1,-5]; n=[0.1,1,5];

然后确定原函数，积分变量，基，以及创建正则表达式Ga=d中的G,d矩阵，这里是4次所以加上常数项是G是（5,5）的格式，d是（5,1）的格式。

f = exp(x); var =x;%积分变量 % 定义基空间 room =[1,x,x^2,x^3,x^4]; %基 % 定义一个5*5的矩阵，用来存放正则表达式Ga=d中G的元素。 G =magic(5); % 定义一个5*1的矩阵D用来存放正则表达式Ga=d中d的元素。 D=[1;2;3;4;5];

然后分别求G和d

G：

for i=1:5 for j=1:5 G(i,j)=(int(room(i)*room(j),var,m,n)); end end for i=1:5 D(i,1)=int(f*room(i),var,m,n); end

将G的逆与d相乘就得到了系数矩阵

a = inv(G)*D;

源码如下：

主函数：

syms x m n m=[-0.1,-1,-5]; n=[0.1,1,5]; for i = 1:3 get_xishu(exp(x),x,m(1,i),n(1,i)) end

get—xishu函数：

function get_xishu(~,~,m,n) syms x f = exp(x); var =x;%积分变量 % 定义基空间 room =[1,x,x^2,x^3,x^4]; %基 disp('关于f的4阶展开式（麦克劳林）') Tay = taylor(f,x,'order',5) % 定义一个5*5的矩阵，用来存放正则表达式Ga=d中G的元素。 G =magic(5); % 定义一个5*1的矩阵D用来存放正则表达式Ga=d中d的元素。 D=[1;2;3;4;5]; % 获取G for i=1:5 for j=1:5 G(i,j)=(int(room(i)*room(j),var,m,n)); end end % 获取D： for i=1:5 D(i,1)=int(f*room(i),var,m,n); end % 最佳逼近的系数为：a a = inv(G)*D; disp('最佳逼近的系数为：') disp(a) disp('函数f的四次最佳逼近多项式:') s = a(1,1)+a(2,1)*x+a(3,1)*x.^2+a(4,1)*x.^3+a(5,1)*x.^4 % 在积分区间中分100个点用于取值和描图 x = m : (n-m)/100 :n; % 计算每一个点在泰勒展开式下的取值 T=eval(Tay); y =exp(x); %计算每个点在四次最佳逼近多项中的取值 s = a(1,1)+a(2,1)*x+a(3,1)*x.^2+a(4,1)*x.^3+a(5,1)*x.^4; figure() plot(x,s,'r',x,y,'g',x,T,'black') xlabel('x'),ylabel('y'); legend('最佳四次逼近','原函数','泰勒展开式'); title('xxxx'); end

运行结果：

当区间为[-0.1,0.1]时：

最佳逼近的系数为： 1.0000 1.0000 0.5000 0.1668 0.0417 函数f的四次最佳逼近多项式: s = (716153323*x^4)/17179869184 + (1466830141885*x^3)/8796093022208 + (549755744457*x^2)/1099511627776 + (17592182552845*x)/17592186044416 + 1125899906876483/1125899906842624

当区间为[-1,1]时：

关于f的4阶展开式（麦克劳林） Tay = x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 最佳逼近的系数为： 1.0000 0.9980 0.4994 0.1761 0.0436 函数f的四次最佳逼近多项式: s = (766974199037*x^4)/17592186044416 + (99157489229861*x^3)/562949953421312 + (35138793930433*x^2)/70368744177664 + (561798649278449*x)/562949953421312 + 1125934743734913/1125899906842624

当区间为[-5,5]时：

关于f的4阶展开式（麦克劳林） Tay = x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 最佳逼近的系数为： 1.9481 -1.6065 -0.2444 0.5821 0.1194 函数f的四次最佳逼近多项式: s = (134470535058449*x^4)/1125899906842624 + (655335705129991*x^3)/1125899906842624 - (17198029307343*x^2)/70368744177664 - (226095998786783*x)/140737488355328 + 68541602106177/35184372088832

done！

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