在机器人领域中，有很多可能的方式来表示方向，其中最常见的是：正交旋转矩阵、三角度表示法、角-向量表示法、单位四元数法。

关于X轴旋转pi/2弧度（90度）可以表示为一个正交旋转矩阵：

R = 1.0000 0 0 0 0.9996 -0.0274 0 0.0274 0.9996

它是一个3×3的矩阵。

这样的矩阵有这种特性：列（行）是一些单位正交向量的集合。这样的矩阵的行列式总是1：

ans = 1.0000

每一列都是单位向量：

ans = 1

ans = 1

ans = 1

这些列向量都是正交的，它们的点积均为0：

ans = 0

ans = 0

ans = 0

正交矩阵的一个重要的特性是，它的逆矩阵和它的转置相等（并且转置是比较容易计算的）：

R-1 = RT

可以证明：

ans = 1.0000 0 0 0 0.9996 0.0274 0 -0.0274 0.9996

ans = 1.0000 0 0 0 0.9996 0.0274 0 -0.0274 0.9996

让我们创建一个更加复杂的软转，请随意调整下面滑块中的数字：

这次我们指定了以度为单位的旋转角。

通常，旋转被表示为欧拉角的形式，表示为： ϕ ， θ 和 ψ \phi，\theta和\psi ϕ，θ和ψ

eul = 2.9178 2.1252 -1.6994

这三个角可以表示为： R = r o t z ( ϕ ) ∗ r o t y ( θ ) ∗ r o t z ( ψ ) R=rotz(\phi)*roty(\theta)*rotz(\psi) R=rotz(ϕ)∗roty(θ)∗rotz(ψ) 旋转需要先绕Z轴，再绕Y轴，最后再绕Z轴。为了证实这种情况我们可以检查：

ans = 0.1543 0.5375 -0.8290 0.9820 0.0092 0.1887 0.1091 -0.8432 -0.5264

旋转通常也可以表示为“横滚-俯仰-偏转”角的形式，分别记为r、p、y：

rpy = -2.1289 -0.1093 1.4150

三个角度可以记为： R = r o t z ( r ) ∗ r o t y ( p ) ∗ r o t z ( y ) R=rotz(r)*roty(p)*rotz(y) R=rotz(r)∗roty(p)∗rotz(y) 旋转满足先绕Z轴，再绕Y轴，最后绕X轴。为了证明这种情况可以检查：

ans = 0.1543 0.5375 -0.8290 0.9820 0.0092 0.1887 0.1091 -0.8432 -0.5264

可以通过基于GUI的app研究绕不同坐标轴旋转的效果。菜单按钮允许改变旋转轴，结束时请关闭app窗口。

任何旋转都可以用空间中某个轴的单次旋转来表示，其中theta是角度(以弧度为单位)，vec是单位矢量，表示旋转轴的方向：

theta = 2.3206 vec = -0.7050 -0.6409 0.3037

为了证明这种情况可以检查：

ans = 0.1543 0.5375 -0.8290 0.9820 0.0092 0.1887 0.1091 -0.8432 -0.5264

最后一个有用的形式是单位四元数，由4个数组成，是复数的相对数。可以从一个正交旋转矩阵创建一个单位四元数：

q = 0.39908 < -0.64642, -0.58766, 0.27844 >

其由标量部分和向量部分组成，转换回来：

ans = 0.1543 0.5375 -0.8290 0.9820 0.0092 0.1887 0.1091 -0.8432 -0.5264

和之前确定的R有相同的值。

单位四元数是用MATLAB类实现的，它们表示的方向可以复合，就像我们通过乘法处理旋转矩阵一样。

首先，可以创建两个单位四元数：

q1 = 0.70711 < 0.70711, 0, 0 >

0.70711 < 0, 0.70711, 0 >

然后，q1和q2的旋转很简单：

ans = 0.5 < 0.5, 0.5, 0.5 >

也可以取四元数的逆：

qi = 0.70711 < -0.70711, 0, 0 >

ans = 1 < 0, 0, 0 >

结构是一个空的旋转（向量部分为0）。