样条函数是工程中常用的插值函数。早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后沿木条画下曲线。对于样条本身，可以利用材料力学的大柔度梁理论建立梁的挠度方程，根据理论，样条可以用分段插值三次函数表示。

由于样条曲线具有连续的二阶导数，所以光滑性好。matlab里有两个函数可以绘制样条曲线，一个是spline，一个是csape。虽然interp1中也可以绘制，优点是代码简单而且可以方便更换其它插值方法，但是功能也比较简单，对于边界条件的无法设置。 关于interp1可以参见官方帮助https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/interp1.html

三次样条曲线有4种边界条件。

如果既有第一边界由于第二边界，称为混合边界条件。

spline函数只能实现非节点边界(Not-A-Knot)和约束导数的第二边界条件，可以实现一维或者高维的曲线插值。 官方spline实例可以参见：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/spline.html

非节点边界(Not-A-Knot)的原理可以参考下面的文章：

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

格式cs=spline(x,y); 输入：x自变量，y函数值 输出：cs为三维样条插值函数构建的结构体。

cs结构体调用方法为yy=ppval(cs,xx); xx为插值点，yy为插值得到的函数值。

红线为插值函数，蓝线为实际正弦函数。

曲线依然选用上面的曲线，我们使用约束导数的第二边界条件。 这里依然用上一个xr和yr正弦曲线。y’(-pi)=1，y’(pi)=0。 第二边界条件（导数条件）格式为： cs=spline(x , [y’1, y, y’2]);

当y比x的长度多2个时，把第一个值和最后一个值当做函数边界的导数。 比如下面代码中，这里x有5个值，y在spline函数中在第一和最后分别增加了1个值作为导数值，第一个值为1，对应y’(-pi)=1；最后一个值为0，对应y’(pi)=0。

可以看到插值函数被大大改变。

如果想要验证y’(-pi)=1，取(yy(2)-yy(1))/(xx(2)-xx(1))，得0.87（这里不是1的原因是xx太稀疏，xx间隔取越密，越接近1）。

这里以二维为例。这里选用默认的非节点边界条件。

二维格式为: cs=spline(t,XY); 输入t为一个正向序列，需要单调。 输入XY为2行n列的矩阵，第一行为x，第二行为y。 cs依然是输出的结构体，但是后面利用ppval插值时要代入关于t的序列值。

由于1维不能表述当y’(x)=inf的情况（如果输入inf时函数会报错），所以可以利用二维来实现导数为无穷大时的约束。

对于二维情况，导数的表达用向量的形式代替，比如k=1可以表示为（0.707,0.707），k=∞可以用(0,1)表示。

表达格式为 cs=spline(t , [xy’1, xy, xy’2]); t为序列 xy为坐标，xy’1为第一个点的导数列向量，xy’2为最后一个点的导数列向量

这里第一个点和最后一个点都取负无穷（0 ; -1）

可以看到有负无穷约束的条件下，改善了图形向外弯折。

虽然圆是一个封闭图形，需要用到循环边界条件，但是如果我们已知圆一点处的导数，还是可以间接的利用这点的导数去做一个伪循环条件的。

比如在（1,0）点处作为初始点，逆时针一圈回到（1,0）点。两边一阶导均为正无穷。算法实现如下：

csape函数可以实现三次样条曲线的各种条件，包括第一边界、第二边界、循环边界、混合边界、非节点边界等。可以实现一维至多维的各种情况。

可以采用 cs =csape(x,y,‘variational’)

调用格式： cs = csape(x , [y’‘1 , y , y’‘2] , [2 , 2] ) 其中x、y和y’'1(2)和之前定义都一样，是约束值，只是这个函数多了一项。 第三项，即[2,2]代表第一个值和最后一个值，都是样条函数的2阶导数值约束条件。

举例为

这里第三项取[1,1]即为第二边界条件，即1阶导数约束点。 如果取[1,2]或[2,1]即为混合边界条件。

这里仅用第二边界举例

可以看到和之前用二阶导等于0约束相比，用一阶导都等于-1的精度要更高。

这里csape函数高维的调用格式依然同spline，具体参见前面的例子。

这里第三项为[0,0]时，代表循环边界条件，不仅适用于1维，还适用于更高维。 比如还是那绘制圆形举例：

在(1,0)点自然无约束条件↑↑↑。 在(1,0)点循环约束↑↑↑。