ADI 法求解二维抛物方程

学校：中国石油大学（华东） 学院：理学院 姓名：张道德 时间：2013.4.27

1、ADI 法介绍

作为模型，考虑二维热传导方程的边值问题：

（3.6.1）,0,,0(,,0)(,)

(0,,)(,,)(,0,)(,,)0t xx yy u u u x y l t u x y x y u y t u l y t u x t u x l t ?=+??

=??====?

取空间步长1

h M

=，时间步长0t >，作两族平行于坐标轴的网线：

,,,0,1,,

j k x x jh y y kh j k M =====

将区域0,x y l ≤≤分割成2M 个小矩形。第

一个ADI 算法（交替方向隐格式）是Peaceman 和Rachford （1955）提出的。

方法：

由第n 层到第n+1层计算分为两步：

（1） 第一步： 1

2,12

n j k xx yy u +

从n->n+

，求u 对向后差分,u 向前差分，构造出差分格

式为：

1

(3.6.1)11

11

2

22

2

,,1,,1,

,1,,1

2

2

1

222,,2

-22=2

1()

n n n n n

n n n

j k j k

j k j k j k

j k j k j k n n

x

j k y j k h

h

h

τδδ+

+

+

+

+-+-+-+-+=

+u u

u

u u u u u （+

）

u u

（2） 第二步：1

2,12

n j k xx yy u +

从n+

->n+1，求u 对向前差分,u 向后差分，构造出差分格

式为：

2

(3.6.1)1

1

1

1

111

222,,1,,1,

,1,,1

2

2

1

221

2,,2

-22=2

1()

n n n n n n n n j k

j k

j k j k j k

j k j k j k n n x

j k y j k h

h

h

τδδ+

+

+

+++++-+-++-+-+=

+u

u u u u u u u （+

）

u u

其中1211,1,,1,0,1,2,,()2

2

n j k M n n n τ+

=-=+

=+ 上表表示在t=t

取值

。

假定第n 层的,n j k u

已求得，则由1(3.6.1)求出1

2,n j k u +

，这只需按行

(1,,1)j M =- 解一些具有三对角系数矩阵的方程组；再由2

(3.6.1)求出