矩阵分解的

Matlab

指令大全

矩阵分解的

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指令大全

(2011-09-03 10:37:08) 

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矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干

个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有可逆方阵的三角（

LU

）分解、任意

满秩矩阵的正交三角（

QR

）分解、对称正定矩阵的

Cholesky

分解，

以及任意方阵的

Schur

分解、

Hessenberg

分解、

EVD

分解、

SVD

分

解、

GMD

分解等。

(1) 

可逆方阵的

LU

分解

矩阵的

LU

分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个

上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵

A

是非奇异

的（即可逆的），

LU

分解总是可以进行的。

当

L

为单位下三角矩阵而

U

为上三角矩阵时，此三角分解称为杜

利特

(Doolittle)

分解。当

L

为下三角矩阵而

U

为单位上三角矩阵时，

此三角分解称为克劳特

(Crout)

分解。显然，如果存在，矩阵的三角分

解不是唯一的。

（

PS

：方阵

A

可唯一地分解为

A=LDU(

其中

L

，

U

分别为单位下，

上三角矩阵，

D

为对角矩阵

)

的充分必要条件为

A

的前

n-1

个顺序主子

式都不为

0

。特别：对

n

阶对称正定矩阵，存在一个非奇异下三角矩阵

L

，使得

A=LL'

成立。）

MATLAB

提供的

lu

函数用于对矩阵进行

LU

分解，其调用格式为：

[L,U]=lu(X)

：产生一个上三角阵

U

和一个变换形式的下三角阵

L(

行交换

)

，使之满足

X=LU

。注意，这里的矩阵

X

必须是方阵。

[L,U,P]=lu(X)

：产生一个上三角阵

U

和一个下三角阵

L

以及一个

置换矩阵

P

，使之满足

PX=LU

。当然矩阵

X

同样必须是方阵。

(2) 

满秩矩阵的

QR

分解

对矩阵

X

进行

QR

分解，就是把

X

分解为一个正交矩阵

Q

和一个