matlab符号运算函数大全.docx

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matlab符号运算函数大全

3.1算术符号操作

命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’

功能符号矩阵的算术操作

用法如下：

A+B、A-B符号阵列的加法与减法。

若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。

A*B符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。

按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。

即：

若An*k*Bk*m=（aij）n*k.*（bij）k*m=Cn*m=（cij）n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。

A.*B符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。

A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。

即：

An*m.*Bn*m=（aij）n*m.*（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij*bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

A\B矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。

我们指出的是，A\B近似地等于inv（A）*B。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，An*m.\Bn*m=（aij）n*m.\（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij\bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A/B矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。

我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv（A）。

若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。

矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。

A./B数组的右除法。

A./B为按对应的分量进行相除。

若A与B为同型阵列时，An*m./Bn*m=（aij）n*m./（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A^B矩阵的方幂。

计算矩阵A的整数B次方幂。

若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。

若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。

A.^B数组的方幂。

A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。

若A与B为同型阵列时，An*m..^Bn*m=（aij）n*m..^（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij^bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。

若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。

A'矩阵的Hermition转置。

若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。

即，若A=（aij）=（xij+i*yij），则。

A.'数组转置。

A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。

例3-1

>>symsabcdefgh;

>>A=[ab;cd];

>>B=[ef;gh];

>>C1=A.*B

>>C2=A.^B

>>C3=A*B/A

>>C4=A.*A-A^2

>>symsa11a12a21a22b1b2;

>>A=[a11a12;a21a22];

>>B=[b1b2];

>>X=B/A;%求解符号线性方程组X*A=B的解

>>x1=X

（1）

>>x2=X

（2）

计算结果为：

C1=

[a*e,b*f]

[c*g,d*h]

C2=

[a^e,b^f]

[c^g,d^h]

C3=

[-（a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g）/（a*d-b*c）,（a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e）/（a*d-b*c）]

[-（-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g）/（a*d-b*c）,（a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g）/（a*d-b*c）]

C4=

[-b*c,b^2-a*b-b*d]

[c^2-a*c-d*c,-b*c]

x1=

（-a22*b1+b2*a21）/（a12*a21-a11*a22）

x2=

-（-a12*b1+a11*b2）/（a12*a21-a11*a22）

      3.2基本运算

命令1合并同类项

函数collect

格式R=collect（S）%对于多项式S中的每一函数，collect（S）按缺省变量x的次数合并系数。

R=collect（S,v）%对指定的变量v计算，操作同上。

例3-2

>>symsxy;

>>R1=collect（（exp（x）+x）*（x+2））

>>R2=collect（（x+y）*（x^2+y^2+1）,y）

>>R3=collect（[（x+1）*（y+1）,x+y]）

计算结果为：

R1=

x^2+（exp（x）+2）*x+2*exp（x）

R2=

y^3+x*y^2+（x^2+1）*y+x*（x^2+1）

R3=

[（y+1）*x+y+1,x+y]

命令2列空间的基

函数colspace

格式B=colspace（A）%返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。

而size（colspace（A）,2）等于rank（A）。

即由A生成的空间维数等于A的秩。

例3-3

>>symsabc

>>A=sym（[1,a;2,b;3,c]）

>>B=colspace（A）

计算结果为：

A=

[1,a]

[2,b]

[3,c]

B=

[1,0]

[0,1]

[-（3*b-2*c）/（-b+2*a）,（-c+3*a）/（-b+2*a）]

命令3复合函数计算

函数compose

格式compose（f,g）%返回复合函数f[g（y）]，其中f=f（x），g=g（y）。

其中符号x为函数f中由命令findsym（f）确定的符号变量，符号y为函数g中由命令findsym（g）确定的符号变量。

compose（f,g,z）%返回复合函数f[g（z）]，其中f=f（x），g=g（y），符号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号变量。

compose（f,g,x,z）%返回复合函数f[g（z）]，而令变量x为函数f中的自变量f=f（x）。

令x=g（z），再将x=g（z）代入函数f中。

compose（f,g,x,y,z）%返回复合函数f[g（z）]。

而令变量x为函数f中的自变量f=f（x），而令变量y为函数g中的自变量g=g（y）。

令x=g（y），再将x=g（y）代入函数f=f（x）中，得f[g（y）]，最后用指定的变量z代替变量y，得f[g（z）]。

例3-4

>>symsxyztuv;

>>f=1/（1+x^2*y）;h=x^t;g=sin（y）;p=sqrt（-y/u）;

>>C1=compose（f,g）%令x=g=sin（y），再替换f中的变量x=findsym（f）。

>>C2=compose（f,g,t）%令x=g=sin（t），再替换f中的变量x=findsym（f）。

>>C3=compose（h,g,x,z）%令x=g=sin（z），再替换h中的变量x。

>>C4=compose（h,g,t,z）%令t=g=sin（z），再替换h中的变量t。

>>C5=compose（h,p,x,y,z）%令x=p（y）=sqrt（-y/u），替换h中的变量x，再将y换成z。

>>C6=compose（h,p,t,u,z）%令t=p（u）=sqrt（-y/u），替换h中的变量t，再将u换成z。

计算结果为：

C1=

1/（1+sin（y）^2*y）

C2=

1/（1+sin（t）^2*y）

C3=

sin（z）^t

C4=

x^sin（z）

C5=

（（-z/u）^（1/2））^t

C6=

x^（（-y/z）^（1/2））

命令4符号复数的共轭

函数conj

格式conj（X）%返回符号复数X的共轭复数

例3-5

X=real（X）+i*imag（X），则conj（X）=real（X）-i*imag（X）

命令5符号复数的实数部分

函数real

格式real（Z）%返回符号复数z的实数部分

命令6符号复数的虚数部分

函数imag

格式imag（Z）%返回符号复数z的虚数部分

命令7余弦函数的整函数

格式Y=cosint（X）%计算余弦函数在点X处的整函数值。

其中X可以是数值矩阵，或符号矩阵。

余弦函数的整函数定义为：

，其中为Euler常数，=0.57721566490153286060651209…i=1,2,…,size（X）。

Euler常数可以通过命令vpa（'eulergamma'）获得。

例3-6

>>cosint（7.2）

>>cosint（[0:

0.1:

1]）

>>symsx;

>>f=cosint（x）;

>>diff（x）

计算结果为：

ans=

0.0960

ans=

Columns1through7

Inf-1.7279-1.0422-0.6492-0.3788-0.1778-0.0223

Columns8through11

0.10050.19830.27610.3374

ans=

1

命令8设置变量的精度

函数digits

格式digits（d）%设置当前的可变算术精度的位数为整数d位

d=digits%返回当前的可变算术精度位数给d

digits%显示当前可变算术精度的位数

说明设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度（命令为：

vpa）计算的数字位数。

其缺省值为32位数字。

例3-7

>>z=1.0e-16%z为一很小的数

>>x=1.0e+2%x为较大的数

>>digits（14）

>>y1=vpa（x*z+1）%大数1“吃掉”小数x*y

>>digits（15）

>>y2=vpa（x*z+1）%防止“去掉”小数x*y

计算结果为：

z=

1.0000e-016

x=

100

y1=

1.0000000000000

y2=

1.00000000000001

命令9将符号转换为MATLAB的数值形式

函数double

格式R=double（S）%将符号对象S转换为数值对象R。

若S为符号常数或表达式常数，double返回S的双精度浮点数值表示形式；若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵，double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。

例3-8

>>gold_ratio=double（sym（'（sqrt（5）-1）/2'））%计算黄金分割率。

>>T=sym（hilb（4））

>>R=double（T）

计算结果为：

gold_ratio=

0.6180

T=

[1,1/2,1/3,1/4]

[1/2,1/3,1/4,1/5]

[1/3,1/4,1/5,1/6]

[1/4,1/5,1/6,1/7]

R=

1.00000.50000.33330.2500

0.50000.33330.25000.2000

0.33330.25000.20000.1667

0.25000.20000.16670.1429

命令10符号表达式的展开

函数expand

格式R=expand（S）%对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。

该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。

例3-9

>>symsxyabct

>>E1=expand（（x-2）*（x-4）*（y-t））

>>E2=expand（cos（x+y））

>>E3=expand（exp（（a+b）^3））

>>E4=expand（log（a*b/sqrt（c）））

>>E5=expand（[sin（2*t）,cos（2*t）]）

计算结果为：

E1=

x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t

E2=

cos（x）*cos（y）-sin（x）*sin（y）

E3=

exp（a^3）*exp（a^2*b）^3*exp（a*b^2）^3*exp（b^3）

E4=

log（a*b/c^（1/2））

E5=

[2*sin（t）*cos（t）,2*cos（t）^2-1]

命令11符号因式分解

函数factor

格式factor（X）%参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。

若X为一正整数，则factor（X）返回X的质数分解式。

若x为多项式或整数矩阵，则factor（X）分解矩阵的每一元素。

若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。

例3-10

>>symsabxy

>>F1=factor（x^4-y^4）

>>F2=factor（[a^2-b^2,x^3+y^3]）

>>F3=factor（sym（'12345678901234567890'））

计算结果为：

F1=

（x-y）*（x+y）*（x^2+y^2）

F2=

[（a-b）*（a+b）,（x+y）*（x^2-x*y+y^2）]

F3=

（2）*（3）^2*（5）*（101）*（3803）*（3607）*（27961）*（3541）

命令12符号表达式的分子与分母

函数numden

格式[N,D]=numden（A）

说明将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分子与分母是相对互素的。

输出的参量N为分子的符号矩阵，输出的参量D为分母的符号矩阵。

例3-11

>>symsxyabcd;

>>[n1,d1]=numden（sym（sin（4/5）））

>>[n2,d2]=numden（x/y+y/x）

>>A=[a,1/b;1/cd];

>>[n3,d3]=numden（A）

计算结果为：

n1=

6461369247334093

d1=

9007199254740992

n2=

x^2+y^2

d2=

y*x

n3=

[a,1]

[1,d]

d3=

[1,b]

[c,1]

命令13搜索符号表达式的最简形式

函数simple

格式r=simple（S）%该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。

若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。

若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个。

[r,how]=simple（S）%没有显示中间的化简结果，但返回能找到的最短的一个。

输出参量r为一符号，how为一字符串，用于表示算法。

例3-12

>>symsx

>>R1=simple（cos（x）^4+sin（x）^4）

>>R2=simple（2*cos（x）^2-sin（x）^2）

>>R3=simple（cos（x）^2-sin（x）^2）

>>R4=simple（cos（x）+（-sin（x）^2）^（1/2））

>>R5=simple（cos（x）+i*sin（x））

>>R6=simple（（x+1）*x*（x-1））

>>R7=simple（x^3+3*x^2+3*x+1）

>>[R8,how]=simple（cos（3*acos（x）））

计算的结果为：

R1=

1/4*cos（4*x）+3/4

R2=

3*cos（x）^2-1

R3=

cos（2*x）

R4=

cos（x）+i*sin（x）

R5=

exp（i*x）

R6=

x^3-x

R7=

（x+1）^3

R8=

4*x^3-3*x

how=

expand

命令14符号表达式的化简

函数simplify

格式R=simplify（S）

说明使用Maple软件中的化简规则，将化简符号矩阵S中每一元素。

例3-13

>>symsxabc

>>R1=simplify（sin（x）^4+cos（x）^4）

>>R2=simplify（exp（c*log（sqrt（a+b））））

>>S=[（x^2+5*x+6）/（x+2）,sqrt（16）];

>>R3=simplify（S）

计算结果为：

R1=

2*cos（x）^4+1-2*cos（x）^2

R2=

（a+b）^（1/2*c）

R3=

[x+3,4]

命令15符号矩阵的维数

函数size

格式d=size（A）%若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]。

[m,n]=size（A）%分别返回矩阵A的行数于m，列数于n。

d=size（A,n）%返回由标量n指定的A的方向的维数：

n=1为行方向，n=2为列方向。

例3-14

>>symsabcd

>>A=[abc;abd;dcb;cba];

>>d=size（A）

>>r=size（A,2）

计算结果为：

d=

43

r=

3

命令16代数方程的符号解析解

函数solve

格式g=solve（eq）%输入参量eq可以是符号表达式或字符串。

若eq是一符号表达式x^2-2*x-1或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’，则solve（eq）对方程eq中的缺省变量（由命令findsym（eq）确定的变量）求解方程eq=0。

若输出参量g为单一变量，则对于有多重解的非线性方程，g为一行向量。

g=solve（eq,var）%对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定的变量var求解方程eq（var）=0。

g=solve（eq1,eq2,…,eqn）%输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符号表达式或字符串。

该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。

若g为一单个变量，则g为一包含n个解的结构；若g为有n个变量的向量，则分别返回结果给相应的变量。

g=solve（eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn）%对方程组eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,…,varn求解。

注意：

对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。

例3-15

>>solve（'a*x^2+b*x+c'）

>>solve（'a*x^2+b*x+c','b'）

>>solve（'x+y=1','x-11*y=5'）

>>A=solve（'a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6'）

计算结果为：

ans=

[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]

[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]

ans=

-（a*x^2+c）/x

ans=

x:

[1x1sym]

y:

[1x1sym]

A=

a:

[4x1sym]

u:

[4x1sym]

v:

[4x1sym]

命令17以共同的子表达式形式重写一符号表达式

函数subexpr

格式[Y,SIGMA]=subexpr（X,SIGMA）

[Y,SIGMA]=subexpr（X,'SIGMA'）

说明找出符号表达式X中相同的子表达式，再结合命令pretty（X）将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。

而用命令pretty（Y）将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号SIGMA代替。

例3-16

>>t=solve（'a*x^3+b*x^2+c*x+d=0'）;

>>[r,s]=subexpr（t,'s'）;

>>pretty（t）

>>pretty（r）

计算结果为：

（略）

命令18特征多项式

函数poly

格式p=poly（A）或p=poly（A,v）

说明若A为一数值阵列，则返回矩阵A的特征多项式的系数，且有：

命令poly（sym（A））近似等于poly2sym（poly（A））。

其近似程度取决于舍入误差的大小。

若A为一符号矩阵，则返回矩阵A的变量为x的特征多项式。

若带上参量v，则返回变量为v的特征多项式。

例3-17

>>A=hilb（4）;

>>p=poly（A）

>>q=poly（sym（A））

>>s=poly（sym（A）,z）

计算结果为：

p=

1.0000-1.67620.2652-0.00170.0000

q=

x^4-176/105*x^3+3341/12600*x^2-41/23625*x+1/6048000

s=

-176/105*z^3+3341/12600*z^2-41/23625*z+1/6048000+z^4

命令19将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式

函数poly2sym

格式r=poly2sym（c）和r=poly2sym（c,v）

说明将系数在数值向量c中的多项式转化成相应的带符号变量的多项式（按次数的降幂排列）。

缺省的符号变量为x；

若带上参量v，则符号变量用v显示。

poly2sym使用命令sym的缺省转换模式（有理形式）将数值型系数转换为符号常数。

该模式将数值转换成接近的整数比值的表达式，否则用2的幂指数表示。

若x有一数值值，且命令sym能将c的元素精确表示，则eval（poly2sym（c））的结果与polyval（c,x）相同。

例3-18

>>r1=poly2sym（[1234]）

>>r2=poly2sym（[.694228,sqrt

（2）,sin（pi/3）]）

>>r3=poly2sym（[101-12],y）