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更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑，然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频，因此称为带通滤波器(band-pass filters)。

在介绍具体的带通滤波器前，先介绍必备的图像微分知识。

1 一阶导数

连续函数，其微分可表达为 ，或                         (1.1)

对于离散情况(图像)，其导数必须用差分方差来近似，有

，前向差分 forward differencing                  (1.2)

 ，中心差分 central differencing                     (1.3)

1)前向差分的Matlab实现

2)中心差分的Matlab实现

实例：技术图像x方向导数

原图像                                                   x方向1阶导数

2 图像梯度(Image Gradient)

图像I的梯度定义为  ，其幅值为 。出于计算性能考虑，幅值也可用 来近似。

Matlab函数

1)gradient：梯度计算

2)quiver：以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度，因此箭头方向都是水平或垂直的。

实例：仍采用上面的原始图像

梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

3 二阶导数

对于一维函数，其二阶导数 ，即 。它的差分函数为

                  (3.1)

3.1 普拉斯算子(laplacian operator)

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积

       (3.2)

其在二维空间上的公式为：

                (3.3)

对于1维离散情况，其二阶导数变为二阶差分

1)首先，其一阶差分为

2)因此，二阶差分为

3)因此，1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核实现

对于2维离散情况(图像)，拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和(见式3.3)，其公式为：

   (3.4)

上式对应的卷积核为

常用的拉普拉斯核有：

3.1.2 应用

拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域，因此常用于边缘检测。

Matlab里有两个函数

1)del2

计算公式： ，

2)fspecial：图像处理中一般利用Matlab函数fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.

The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

3.1.3 资源