数值线性代数最重要也是最常见的应用之一是可求解以 A*x = b 形式表示的线性方程组。当 A 为大型稀疏矩阵时，您可以使用迭代方法求解线性方程组，使用这一方法，您可在计算的运行时间与解的精度之间进行权衡。本主题介绍 MATLAB® 中可用于求解方程 A*x = b 的迭代方法。

求解线性方程 A*x = b 的方法有两种：

直接方法是高斯消去法的变体。这些方法通过矩阵运算（例如 LU、QR 或乔列斯基分解）直接使用各个矩阵元素。您可以使用直接方法来求解具有高精度水平的线性方程，但在大型稀疏矩阵上运行这些方法时，速度可能会很慢。用直接方法求解线性方程组的速度很大程度上取决于系数矩阵的密度和填充模式。

例如，以下代码用于求解一个较小的线性方程组。

MATLAB 通过矩阵除法运算符 / 和 \ 以及 decomposition、lsqminnorm 和 linsolve 等函数实现直接的方法。

迭代方法在经过有限的步数之后生成线性方程组的逼近解。这些方法对大型方程组非常有用，在求解这些方程组时，通过牺牲精度来缩短运行时间是合理的。迭代方法仅通过矩阵-向量积或抽象的线性运算函数间接使用系数矩阵。迭代方法可用于任何矩阵，但它们通常应用于直接求解速度慢的大型稀疏矩阵。使用间接方法求解线性方程组的速度不像直接方法那样严重依赖于系数矩阵的填充模式。但是，使用迭代方法通常需要针对每个特定问题调优参数。

例如，以下代码用于求解一个具有对称正定系数矩阵的大型稀疏线性方程组。

MATLAB 根据系数矩阵 A 的属性，实现了多种具有不同优缺点的迭代方法。

如果提供实施这些方法所需的足够空间，直接方法与间接方法相比，通常前者更快，适用性更广。通常，您应该先尝试使用 x = A\b。如果直接求解的速度太慢，则可以尝试使用迭代方法。

求解线性方程组的大多数迭代算法都遵循类似的过程：

首先获取解向量 x0 的初始估计值。（除非您指定了更好的估计值，否则通常为零元素向量。）

计算残差范数 res = norm(b-A*x0)。

将残差与指定的容差进行比较。如果 res