做图像处理的同学应该经常都会用到图像的缩放，我们都知道图片存储的时候其实就是一个矩阵，所以在对图像进行缩放操作的时候，也就是在对矩阵进行操作，如果想要将图片放大，这里我们就需要用到过采样算法来扩大矩阵，利用欠采样来缩小图像。 如上图所示，左图是原图像矩阵，右图是扩大后的图像矩阵，右图中的橙色点表示的是矩阵扩大之后通过插值算法填充的像素值。所以，这篇文章我们主要探讨的就是如何来通过插值算法来填充像素值

在opencv中提供了一个resize函数用来调整图像的大小，里面提供了好几种不同的插值算法，如下图所示 这里我们主要介绍最常用的前5中插值算法，最后两种插值算法主要是应用在仿射变换中，cv.WARP_FILL_OUTLIERS在从src到dst变换的时候可能会出现异常值，通过这个设定可以将异常值的像素置0。而cv.WARP_INVERSE_MAP是应用在仿射变换的逆变换，从dst到src的变换，关于仿射变换的更多资料可以参考我的上篇文章一文搞懂仿射变换

我们通过随机生成一个5×5的图片，然后通过不同的插值算法将其放大10倍之后，来对比最终图片的效果。

如果大家觉得灰度图不方便观察，我们可以通过设置plt.imshow的cmap参数来控制颜色，matplotlib提供了几种不同的类别的色彩映射方式

最近邻插值也称近端插值，是一种在一维或多维空间上进行多变元插值的简单方法。插值是一种通过已知的、离散的数据点，在范围内推求新数据点的过程或方法。最近邻插值算法选择距离所求数据点最近点的值，并且根本不考虑其他相邻点的值，从而产生一个分段常数的内插值来作为所求数据点的值。 如上图所示，黑色的×表示需要插入的值，它会选择距离它最近的 P x + 1 , y P_{x+1,y} Px+1,y​的值来作为它的值。 如果距离四个点的距离都相等，最近邻插值会如何选择？

这里的线性插值其实是指双线性插值，这种插值算法也是resize函数中默认使用的插值算法。 双线性插值，也被称为双线性内插。双线插值是对线性插值在二维坐标系上的扩展，用于对双变量函数进行插值，其核心思想是在两个方向上分别进行一次线性插值。 为了帮助大家更好的理解双线性插值算法，我们先来看线性插值 假设我们已知坐标 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)与 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) (x1​,y1​)，我们想要得到在区间 [ x 0 , x 1 ] [x_0,x_1] [x0​,x1​]上任意位置 x x x所对应 y y y的值，如下图所示 我们可以求出直线的方程，然后将 x x x坐标代入到方程就可以求出对应的 y y y值，通过直线方程的两点式可以得到 y − y 0 x − x 0 = y 1 − y 0 x 1 − x 0 \frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\ x−x0​y−y0​​=x1​−x0​y1​−y0​​ 然后我们根据已知的 x x x，将其代入上式可得 y = y 0 + ( x − x 0 ) y 1 − y 0 x 1 − x 0 = y 0 + ( x − x 0 ) y 1 − ( x − x 0 ) y 0 x 1 − x 0 y=y_0+(x-x_0)\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=y_0+\frac{(x-x_0)y_1-(x-x_0)y_0}{x_1-x_0} y=y0​+(x−x0​)x1​−x0​y1​−y0​​=y0​+x1​−x0​(x−x0​)y1​−(x−x0​)y0​​ 再了解线性插值以后，我们再来看看双线性插值 假如我们想得到未知函数 f f f在点 P = ( x , y ) P=(x,y) P=(x,y)的值，假设我们已知函数 f f f在 Q 11 = ( x 1 , y 1 ) Q_{11}=(x_1,y_1) Q11​=(x1​,y1​)， Q 12 = ( x 1 , y 2 ) Q_{12}=(x_1,y_2) Q12​=(x1​,y2​)， Q 21 = ( x 2 , y 1 ) Q_{21}=(x_2,y_1) Q21​=(x2​,y1​)及 Q 22 = ( x 2 , y 2 ) Q_{22}=(x_2,y_2) Q22​=(x2​,y2​)四个点的值 首先在 x x x方向进行线性插值，利用 Q 11 Q_{11} Q11​和 Q 21 Q_{21} Q21​可以求得 R 1 R_1 R1​的 y y y值，利用 Q 12 Q_{12} Q12​和 Q 22 Q_{22} Q22​可以求得 R 2 R_2 R2​的 y y y值 f ( R 1 ) ≈ x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 11 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 21 ) f ( R 2 ) ≈ x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 12 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 22 ) f(R_1)\approx\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})\\ f(R_2)\approx\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22}) f(R1​)≈x2​−x1​x2​−x​f(Q11​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q21​)f(R2​)≈x2​−x1​x2​−x​f(Q12​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q22​) 细心的同学也许发现了，这个插值好像与线性插值并不是一模一样的，所以我们用的是 ≈ \approx ≈而非 = = =，这里其实采用的是一种加权平均算法结合两点来计算其中一点的 y y y值，主要是根据计算点距离两个端点在x方向上的距离来计算计算点y值所占的比例。 接下来，我们再利用已经计算出来的 R 1 R_1 R1​和 R 2 R_2 R2​来 P P P点的插值，可得 f ( P ) ≈ y 2 − y y 2 − y 1 f ( R 1 ) + y − y 1 y 2 − y 1 f ( R 2 ) = y 2 − y y 2 − y 1 ( x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 11 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 21 ) ) + y − y 1 y 2 − y 1 ( x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 12 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 22 ) ) = 1 ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) ( f ( Q 11 ) ( x 2 − x ) ( y 2 − y ) + f ( Q 21 ) ( x − x 1 ) ( y 2 − y ) + f ( Q 12 ) ( x 2 − x ) ( y − y 1 ) + f ( Q 22 ) ( x − x 1 ) ( y − y 1 ) ) = 1 ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) [ x 2 − x x − x 1 ] [ f ( Q 11 ) f ( Q 12 ) f ( Q 21 ) f ( Q 22 ) ] [ y 2 − y y − y 1 ] \begin{aligned} f(P)&\approx\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2)\\ &=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21}))\\&\quad+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}(\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22}))\\&=\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}(f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y)\\&\quad+f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y)+f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1)\\&\quad+f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1))\\&=\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}[x_2-x \quad x-x_1] \left[ \begin{matrix} f(Q_{11}) & f(Q_{12})\\ f(Q_{21}) & f(Q_{22})\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_2-y\\ y-y_1\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} f(P)​≈y2​−y1​y2​−y​f(R1​)+y2​−y1​y−y1​​f(R2​)=y2​−y1​y2​−y​(x2​−x1​x2​−x​f(Q11​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q21​))+y2​−y1​y−y1​​(x2​−x1​x2​−x​f(Q12​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q22​))=(x2​−x1​)(y2​−y1​)1​(f(Q11​)(x2​−x)(y2​−y)+f(Q21​)(x−x1​)(y2​−y)+f(Q12​)(x2​−x)(y−y1​)+f(Q22​)(x−x1​)(y−y1​))=(x2​−x1​)(y2​−y1​)1​[x2​−xx−x1​][f(Q11​)f(Q21​)​f(Q12​)f(Q22​)​][y2​−yy−y1​​]​ 仔细观察上面的公式不难发现，其实 P P P点的值等于周围四个点与P点所构成的四个对角矩形面积的加权平均

双三次插值是一种更加复杂的插值算法，是二维空间中最常用的插值算法，相对双线性插值的图像边缘更加平滑，函数 f f f在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，这里需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。 双三次插值通过以下公式进行计算： ∑ i = 0 3 ∑ j = 0 3 a i j x i y j \sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j} i=0∑3​j=0∑3​aij​xiyj 计算系数 a i j a_{ij} aij​的过程依赖于插值数据的特性。如果已知插值函数的导数，常用的方法就是使用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数 h ′ x h'x h′x与 h ′ y h'y h′y表示 x x x与 y y y方向的表面斜率，二阶相互导数 h ′ ′ x y h''xy h′′xy表示同时在 x x x与 y y y方向的斜率。这些值可以通过分别对 x x x与 y y y向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标 ( 0 , 0 ) 、 ( 1 , 0 ) 、 ( 0 , 1 ) 、 ( 1 , 1 ) (0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1) (0,0)、(1,0)、(0,1)、(1,1)代入这些方程，再解这16个方程。 看了上面这段话之后，貌似还是不太好理解，接下来我们看一个例子，双三次插值常用的BiCubic函数如下图 上式中的 a a a取-0.5即可，函数图像如下 对待插值的像素点 ( x , y ) (x,y) (x,y)( x , y x,y x,y可为浮点数)，取其附近的4×4领域点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi​,yi​)其中 i , j = 0 , 1 , 2 , 3 i,j=0,1,2,3 i,j=0,1,2,3。按下面的公式进行插值计算： 例如，我们需要求解 P P P点值，在 P P P点周围有16个点 首先，我们要求出当前像素与 P P P点的距离，比如 a 00 a_{00} a00​距离 P ( x + u , y + v ) P(x+u,y+v) P(x+u,y+v)的距离为 ( 1 + u , 1 + v ) (1+u,1+v) (1+u,1+v)，那么我们可以得到 a 00 a_{00} a00​对应的系数为 ( W ( 1 + u ) , W ( 1 + v ) ) (W(1+u),W(1+v)) (W(1+u),W(1+v))，所以 a 11 a_{11} a11​的系数为 ( W ( u ) , W ( v ) ) (W(u),W(v)) (W(u),W(v))， a 22 a_{22} a22​的系数为 ( W ( 1 − u ) , W ( 1 − v ) ) (W(1-u),W(1-v)) (W(1−u),W(1−v))， a 33 a_{33} a33​的系数为 W ( 2 − u ) , W ( 2 − v ) W(2-u),W(2-v) W(2−u),W(2−v)，同理可以得到剩下点的系数，再根据上面的函数就可以求出 P P P点的值。 关于双三次插值函数更加详细介绍可以参考： Cubic Convolution Interpolation for Digital Image Processing

区域插值算法主要分两种情况，缩小图像和放大图像的工作原理并不相同。

Lanczos插值属于一种模板算法，需要通过计算模板中的权重信息来计算 x x x对应的值。 对于一维信息，假如我们输入的点集为 X X X，那么，Lanczos对应有个窗口模板Window，窗口中每个位置的权重计算如下： 通常a取2或者3，当a=2时，该算法适应于图像缩小的插值。当a=3时，算法适用于图像放大的插值。根据计算出来的权重信息，然后再根据 x x x即可求出对应的加权平均：

对于不同的插值算法，在缩放因子不同的时候，耗时会有所区别，具体对照如下表所示

如果要缩小图像，推荐使用INTER_AREA插值效果最好，如果要放大图像，INTER_CUBIC效果最好，但是速度较慢，可以考虑使用INTER_LINEAR速度较快，效果也还不错。 参考： 1.http://www.1zlab.com/wiki/python-opencv-tutorial/opencv-interpolation-algrithm/ 2.维基百科线性插值 3.维基百科双三次插值 4.https://blog.csdn.net/nandina179/article/details/85330552 5.https://blog.csdn.net/qq_29058565/article/details/52769497 6.https://blog.csdn.net/u010555688/article/details/24352343 7.https://zhuanlan.zhihu.com/p/38493205