对数函数lnx各大放缩公式松紧程度对比 |
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在学到导数这一章时,关于指对函数的放缩问题,大家往往觉得非常困难,无从下笔。那么,我们不妨对放缩公式进行深入研究,看看里面是否有门道? 大家都清楚,高中阶段最常用的对数放缩公式为: 这个公式也是教材上唯一出现的有关对数放缩公式,也是有心学习导数放缩的同学们必须掌握的入门公式! 但有的时候,在证明含有对数函数的不等式时,同学们会发现使用上述公式进行放缩后,得出一个错误的式子,这是什么原因呢? 观察图像, 经过观察,我们不难发现:x-1的图像是lnx的切线,因此上述公式也叫切线放缩。 我们还可以发现:随着x的不断增大,两个函数图像的距离也将越来越大,而在x不断接近于0时同理。 因此,同学们之所以会证明失败,除了计算错误或方法使用错误之外,还有一种可能就是:由于上述公式的放缩程度过宽,导致同学们在放缩时,跨过了待证不等式的松紧程度,进而得出错误的式子致使不等式无法证明。 那么如何解决这种问题呢?我们再观察一下函数图像,可以发现在两个函数之间存在着巨大空隙。 因此,我们产生了这样一个想法:能否在两者的空隙之间插入一个函数,使得对数函数的放缩式进一步精确呢? 那么,下面是有关对数函数的常用放缩公式,有兴趣的同学们可以在私下里进行证明: 经过分类整理之后,可以分成两种不同情况:分别为:0<x<1;x>1。 将上述各个放缩公式的松紧程度进行比较,可以得到以下三种情况:0<x<1;1<x<2;x>2。 其函数图像如下(其中仅lnx和x-1的图像为黑色): 不难发现,切线放缩公式的松紧度和其他公式比起来,是最宽松的一个了! 下面我们将与lnx最为接近的两个函数抽取出来,得到目前为止松紧度最紧的放缩公式(学有余力的同学建议背诵): 图像如下图所示(其中lnx的图像为黑色) 这是在高中阶段尚未解除泰勒公式之前,松紧度最紧的对数放缩公式了。如果能掌握上述公式及其证明,那么接下来在指对函数的证明中会给同学们如虎添翼!希望同学们能够从中受益,谢谢大家支持! |
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