给定一组（n 个）非线性函数 Fi(x)，其中 n 是向量 x 中的分量数，方程求解的目标是找到使所有 Fi(x) = 0 的向量 x。

fsolve 尝试通过最小化分量的平方和来求解方程组。如果平方和为零，则方程组得到求解。fsolve 有三种算法：

信赖域

信赖域 dogleg

莱文贝格-马夸特

所有算法均为大规模的；请参阅大规模算法与中等规模算法。

fzero 函数求解单个一维方程。

mldivide 函数对一个线性方程组求解。

Optimization Toolbox™ 求解器中使用的许多方法都基于信赖域，这是一个简单而功能强大的优化概念。

要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参量并返回标量。假设当前点是 n 维空间中的 x，您要通过移至函数值较低的点来寻求改进。为此，该算法使用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。此邻域是信赖域。求解器通过最小化（或近似最小化）N 来计算试探步 s。信赖域子问题是

mins{q(s), s∈N}.

如果 f(x + s) < f(x)，求解器将当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，求解器收缩 N（信赖域）并再次计算试探步。

在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。

在标准信赖域方法 ([48]) 中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义。邻域 N 通常是球形或椭圆形。以数学语言表述，信赖域子问题通常写作

其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是黑塞矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ 是正标量，‖ . ‖ 是 2-范数。为了求解公式 1，一种算法（请参阅[48]）会计算 H 的所有特征值，然后将牛顿法应用于以下久期方程

1Δ−1‖s‖=0.

这种算法提供 公式 1 的精确解。但是，这需要耗费与 H 的几个分解成比例的时间。因此，处理信赖域问题需要另一种方法。文献（[42] 和 [50]）提出了几种基于公式 1 的逼近和启发式策略。Optimization Toolbox 求解器采用一种逼近方法，将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内（[39] 和 [42]）。在求解器计算出子空间 S 后，求解公式 1 的工作量是微不足道的，因为在子空间中，问题只是二维的。现在的主要工作转移到子空间的确定上。

求解器借助预条件共轭梯度法（将在下一节中说明）确定二维子空间 S。求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解

H⋅s2=−g,

或是负曲率的方向，

s2T⋅H⋅s2