MPC模型预测控制及在Matlab中实现函数定义

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MPC模型预测控制及在Matlab中实现函数定义

2023-08-20 02:35| 来源: 网络整理| 查看: 265

基于b站DR_CAN老师的MPC控制视频【MPC模型预测控制器】4_数学建模推导--Matlab代码详解_哔哩哔哩_bilibili的学习分享如下：

一、研究目的

在约束条件（物理限制）下达到最优的系统表现。

1.对于单输入单输出（SISO）系统：

$\int _{0}^{t}e^{2}dt$ 越小，跟踪能力越强；

$\int _{0}^{t}u^{2}dt$ 越小，输入越小，能耗越低。（用平方项来衡量e、u的绝对值大小）

2.代价函数Cost Function

$J=\int _{0}^{t}qe^{2}+ru^{2}dt\rightarrow minJ$ ,通过设计u，寻找最小的J的过程为最优化

其中q,r为调节参数

①若q>>r,则误差e对于设计系统的影响权重更大

②若r>>q,则系统设计更看重输入u

3.对于多输入多输出（MIMO）系统：

状态空间： $\left\{\begin{matrix} \frac{dX}{dt}=AX+BU \\ Y=CX \end{matrix}\right.$

代价函数： $J=\int _{0}^{\infty }E^{T}QE+U^{T}RUdt$

具体地，例如已知系统 $\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =A\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}+B \begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ ，系统的参考目标 $R=\begin{bmatrix} r_{1}\\ r_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ,则误差矩阵 $E=\begin{bmatrix} e_{1}\\ e_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_{1}-r_{1}\\ y_{2}-r_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$

$E^{T}QE=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} q_{1}& 0\\ 0& q_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix} =q_{1}x_{1}^{2}+q_{2}x_{2}^{2}$

$U^{T}RU=\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} r_{1}& 0\\ 0& r_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\ u_{2} \end{bmatrix} =r_{1}u_{1}^{2}+r_{2}u_{2}^{2}$

其中，Q,R为调节矩阵， $q_{1}$ , $q_{2}$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ 为系统最优时的权重系数。

二、基本概念

MPC（Model Predictive Control）模型预测控制：通过模型来预测系统在某一未来时间段内的表现来进行优化控制，多用于数位控制，用离散的状态空间表达，即 $X_{k+1}=AX_{k}+BU_{k}$

实现步骤：

Step1:估计/测量读取当前k时刻的系统状态

Step2：基于 $u_{k},u_{k+1},...,u_{k+N}$ 的选择进行最优化

代价函数: $J=\sum_{k}^{k+N-1}E_{k}^{T}QE_{k}+U_{k}^{T}RU_{k}+E_{N}^{T}FE_{N}$

其中， $E_{k}$ 为k时刻的误差矩阵， $U_{k}$ 为k时刻的输入矩阵， $E_{N}$ 为终端（N时刻）误差，Q,R为调节矩阵，F为终端误差权重矩阵

Step3：实施一步 $u_{k}$ (即从t=k运行到t=k+1即可)

下一次从t=k+1时重复Step1到3，重新预测 $u_{k+1},...,u_{k+N+1}$ 的输入

即每一轮的预测都是预测区间和控制区间整体右移一个单位，整个过程是向右滚动的，

称为滚动优化控制（Receding Horizon Control），系统对控制器的计算能力要求高。

三、MPC最优化建模

（对于模型求解的原理是基于二次规划（Quadratic Programming）模型的求解,通过调用Matlab、Python等二次规划函数求解，下面的代码用到Matlab的quadprog函数）

1.如何建立二次规划模型

已知系统模型：X(k+1) = AX(k) + BU(k)，输出Y=X,参考目标R=0

其中，X(k+1) 为k+1时刻的状态变量，X(k) 为k时刻的状态变量，U(k)为k时刻的输入变量。

在k时刻：

①设u(k+i | k)表示在k时刻预测的第k+i时刻的输入值，在预测区间N内，有 $u(k | k),u(k+1| k),...,u(k+N-1 | k)$ ,即 $U_{k}=\begin{bmatrix} u(k|k)\\ u(k+1|k)\\ ...\\ u(k+N-1|k) \end{bmatrix}$

同理， $X_{k}=\begin{bmatrix} x(k|k)\\ x(k+1|k)\\ ...\\ x(k+N|k) \end{bmatrix}$ ,x(k+i | k)表示在k时刻预测的第k+i时刻的系统状态

②误差E=Y-R=X-0=X

代价方程 $J=\sum_{i=0}^{N-1}x(k+i|k)^{T}Qx(k+i|k)+u(k+i|k)^{T}Ru(k+i|k)+x(k+N)^{T}Fx(k+N)$

即 $J=\sum$ (误差加权和 + 输入加权和 + 终端误差项)

③初始条件(k时刻) $x(k|k) = x_{k}$

预测的k+1时刻 $x(k+1|k) = Ax(k|k)+Bu(k|k)=Ax_{k}+Bu(k|k)$

预测的k+2时刻 $x(k+2|k) = Ax(k+1|k)+Bu(k+1|k)=Ax_{k}^{2}+ABu(k|k)+Bu(k+1|k)$

预测的k+N时刻 $x(k+N|k) =Ax_{k}^{N}+A^{N-1}Bu(k|k)+...+Bu(k+N-1|k)$

综上， $X_{k}=\begin{bmatrix} x(k|k)\\ x(k+1|k)\\ x(k+2|k)\\ ...\\ x(k+N|k) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I\\ A\\ A^{2}\\ ...\\ A^{N} \end{bmatrix}x_{k}+\begin{bmatrix} 0 &0 &... &0 \\ B & 0 & ... & 0\\ AB &B &... &... \\ ... & ... & ... &0 \\ A^{N-1}B& A^{N-2}B &... & B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u(k|k)\\ u(k+1|k))\\ ...\\ ...\\ u(k+N-1|k) \end{bmatrix}$

简化为 $X_{k}=Mx_{k}+CU_{k}$ (1)

$X_{k}$ 为k时刻预测的一段时间内的所有状态值的组合向量， $x_{k}$ 为已知的t=k这一个时刻的状态值, $M=\begin{bmatrix} I\\ A\\ A^{2}\\ ...\\ A^{N} \end{bmatrix}$ , $C=\begin{bmatrix} 0 &0 &... &0 \\ B & 0 & ... & 0\\ AB &B &... &... \\ ... & ... & ... &0 \\ A^{N-1}B& A^{N-2}B &... & B \end{bmatrix}$

在t=k时刻的代价矩阵可表述为 $J_{k}=X_{k}^{T}QX_{k}+U_{k}^{T}RU_{k}$ (2)

将式(1)代入(2)得

$J_{k}=x_{k}^{T}M^{T}\bar{Q}Mx_{k}+x_{k}^{T}M^{T}\bar{Q}CU_{k}+U_{k}^{T}C^{T}\bar{Q}Mx_{k}+u_{k}^{T}C^{T}\bar{Q}Cu_{k}+U_{k}^{T}\bar{R}U_{k}$

其中， $\bar{Q},\bar{R}$ 为增广矩阵， $\bar{Q}=\begin{bmatrix} Q & & & \\ & ... & & \\ & &Q & \\ & & & F \end{bmatrix}$ , $\bar{R}=\begin{bmatrix} R & & & \\ & R & & \\ & &... & \\ & & & R \end{bmatrix}$

令 $M^{T}\bar{Q}M=G,C^{T}\bar{Q}M=E^{T},C^{T}\bar{Q}C+\bar{R}=H$

则 $J_{k}=x_{k}^{T}Gx_{k}+2x_{k}^{T}E^{T}U_{k}+U_{k}^{T}HU_{k}$ ，该简化形式可以清晰看出 $J_{k}$ 与初始条件 $x_{k}$ 及输入 $U_{k}$ 的关系。

四、建模实例

对于系统x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)，系统的维度为：x(k)：n×1 ; A：n×n ; B：n×p ; u(k)：p×1,运算过程中各矩阵的维度有：

在Matlab中定义函数：

function [M,C,Q_bar,R_bar,G,E,H,U_k] = MPC_Zero_Ref(A,B,N,x_k,Q,R,F) %%%%%%%%%%%建立一个以0为参考目标的MPC求解函数 %%%%%%%%%%%其中，状态矩阵A，输入矩阵B系统维度N，初始条件x_k,权重矩阵Q,R及终端误差矩阵F为输入 %%%%%%%%%%%输出中U_k为所求控制器，其余为简化过程中引入的中间变量 n=size(A,1); %A是n×n矩阵，求n p=size(B,2); %B是n×p矩阵，求p M=[eye(n);zeros(N*n,n)];%初始化M矩阵，M矩阵是(N+1)n × n的， %它上面是n × n个“I”，这一步先把下半部分写成0 C=zeros((N+1)*n,N*p);%初始化C矩阵，这一步令它有(N+1)n × NP个0 %定义M和C tmp=eye(n);%定义一个n × n的I矩阵 for i=1:N%循环，i从1到N rows = i*n+(1:n);%定义当前行数，从i×n开始，共n行 C(rows,:)=[tmp*B,C(rows-n,1:end-p)];%将C矩阵填满 tmp=A*tmp;%每一次将tmp左乘一次A M(rows,:)=tmp;%将M矩阵写满 end %定义Q_bar S_q=size(Q,1);%找到Q的维度 S_r=size(R,1);%找到R的维度 Q_bar=zeros((N+1)*S_q,(N+1)*S_q);%初始化Q_bar为全0矩阵 for i=0:N Q_bar(i*S_q+1:(i+1)*S_q,i*S_q+1:(i+1)*S_q)=Q;%将Q写到Q_bar的对角线上 end Q_bar(N*S_q+1:(N+1)*S_q,N*S_q+1:(N+1)*S_q)=F;%将F放在最后一个位置 %定义R_bar R_bar=zeros(N*S_r,N*S_r);%初始化R_bar为全0矩阵 for i=0:N-1 R_bar(i*S_r+1:(i+1)*S_r,i*S_r+1:(i+1)*S_r)=R; end %求解 G=M'*Q_bar*M;%G E=C'*Q_bar*M;%E H=C'*Q_bar*C+R_bar;%H %最优化 f=(x_k'*E')';%定义f矩阵 U_k=quadprog(H,f);%用二次规划求解最优化U_k end

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